Claro está que el secreto de la <
Supongamos que el prestidigitador le haya propuesto a usted realizar un programa de operaciones indicado en la columna izquierda de la tabla siguiente:
Piensa un número
Adiciona 2 x + 2
el resultado multiplícalo por 3 3x + 6
Resta 5 3x + 1
Resta el número pensado 2x + 1
Multiplícalo por 2 4x + 2
Resta 1 4x + 1
Luego el prestidigitador pide que le comuniquen el resultado final y, al obtenerlo, dice al instante el número pensado. ¿Cómo lo hace?
Para comprender esto, hay que mirar la columna derecha de la tabla, donde las indicaciones del prestidigitador están traducidas al idioma del álgebra. Mirando esta columna se puede comprender, que si usted ha pensado cualquier número x, entonces realizadas todas las operaciones se obtendrá 4x + 1. Conociendo este resultado no es difícil <
Supongamos, por ejemplo, que usted haya dicho al prestidigitador que el resultado es 33. Entonces el prestidigitador resuelve mentalmente muy rápido la ecuación 4x + 1 = 33 y obtiene la respuesta; x = 8. Es decir, hace falta restar 1 del resultado final (33 - 1 = 32) y luego el número obtenido se divide entre 4 (32/4 =8 ), el resultado de esta división es el numero pensado (8). Si el resultado final es 25, entonces el prestidigitador hace mentalmente las siguientes operaciones 25 - 1 = 24, 24/4 = 6 y le comunica que usted ha pensado el número 6.
Como se ve todo es muy fácil. El prestidigitador sabe de antemano qué hace falta hacer con el resultado para obtener el número pensado.
TEMA 1
ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
IGUALDAD.- Es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor.
Ejemplo: a = b + c
IDENTIDAD.- Es una igualdad que se satisface para todos los valores de la variables que intervienen en ella.
Ejemplo: (a + b)2 = (a + b) (a + b)
a2 – m2 = (a + m) (a – m)
ECUACIÓN.- Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se satisfacen o verifican para determinados valores. Las incógnitas se representan, normalmente, por las últimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v, t.
Ejemplo 1:
5x + 2 = 17
Ejemplo 2:
y2 – 5y + 6 = 0
EL GRADO DE UNA ECUACIÓN.- Es el exponente mayor que tiene la incógnita.
Ejemplos: 5x + 2 = 17 De primer grado, también llamadas lineales.
y2 – 5y + 6 = 0 De segundo grado, también llamadas cuadráticas
Una ecuación puede ser de primer grado, con una o varias incógnitas, de segundo grado con una o varias incógnitas, etc. La ecuación de primer grado es la ecuación en que después de haber efectuado las operaciones indicadas la incógnita tiene exponente uno, mientras que la de segundo se queda con un exponente dos.
Ejemplos de ecuaciones de primer grado:
3x + 5 = 15 es ecuación de primer grado, ya que el exponente es uno
3x + 7 + 8x = 37 - 4x es ecuación de primer grado
es ecuación de primer grado
ax + b2 = a2 - bx es ecuación de primer grado
MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN:- Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro a la expresión que se encuentra a la derecha. Ejemplo:
5x + 2 = 17
CLASES DE ECUACIONES
ECUACIÓN ENTERA.- Es cuando ninguno de los términos de la ecuación tiene incógnitas en el denominador. Ejemplos:
3x + 4 = 7x
ECUACIÓN FRACCIONARIA.- Es la ecuación tiene alguno o todos sus términos tienen incógnitas en el denominador. Ejemplos:
ECUACIÓN NUMÉRICA.- Es la ecuación que no tiene más letras que la incógnita. Ejemplos:
3x + 4 = 7x
ECUACIÓN LITERAL.- Es la ecuación que además de la incógnita tiene otra u otras letras, que vienen siendo literales. Ejemplos:
5x + 2a = b
RAÍCES O SOLUCIONES.- Son los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación. Si al sustituir en la ecuación un valor atribuido a la incógnita se obtiene una identidad, la ecuación queda satisfecha.
Ejemplo: 3x + 2 = 5x
Si se sustituye x por 5, se obtiene 15 + 2 25, la ecuación no quedó satisfecha.
Si se sustituye x por 1, resulta 3x + 2 = 5, la ecuación se satisface para x = 1
El número de raíces de una ecuación es el grado que le corresponde.
DOS O MÁS ECUACIONES SON EQUIVALENTES.- Son cuando una se obtiene de la otra, ya sea sumando, restando, multiplicando o dividiendo ambos miembros de la ecuación por la misma cantidad. Ejemplo:
Las ecuaciones: y 5x - 15 = x + 3 son equivalentes, puesto que la segunda se obtuvo al multiplicar ambos miembros de la primera ecuación por 5 ( x + 3 )
AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES.- Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales, los resultados serán iguales. Ejemplos.
3x + 1 = 3 3x + 1 + 2 = 3 + 2 (suma 2)
5x = 15 5x –1 = 15 –1 (resta 1)
2x = 10 4x = 20 (multiplica por 2)
2x = 8 x = 4 (divide entre 2)
TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS.- Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro. Al hacer la transposición de términos se aplica la siguiente regla:
“Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo”.
Los términos iguales con signos iguales en distintos miembros se pueden suprimir.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 40
Contesta las siguientes preguntas.
a) ¿Qué es una igualdad?
b) ¿Qué es una ecuación?
c) ¿Qué es una identidad?
d) ¿Qué es una incógnita?
e) ¿Cuáles son las letras del abecedario que representan a las incógnitas?
f) ¿Cuántas y cuáles son las clases de ecuaciones más comunes? Escribe un ejemplo de cada clase.
g) ¿A qué se le llama raíz de una ecuación?
h) Menciona el axioma fundamental de las ecuaciones
i) ¿A qué se le llama transposición de términos?
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 41
De acuerdo a la ecuación: 4x – 9 = 3x – 5; contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el primer miembro?
b) Menciona dos términos.
c) Determina el grado de la ecuación.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 42
Clasifica las ecuaciones que se mencionan a continuación, escribiéndolas en la columna(s) que le(s) corresponda(n) del siguiente cuadro.
i. 8x - 4 + 3x = 7x + x + 14
ii. x - (2x + 1) = 8 - (3x + 8)
iii. ax - 4 = bx - 2
iv. 3(2a - x) + ax = a2 + 9
v.
vi.
Ecuación numérica Ecuación literal Ecuación fraccionaria Ecuación entera
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se siguen los siguientes pasos:
I. Se suprimen los denominadores si los hay (se busca el mcm de los denominadores, se divide entre cada denominador y se multiplica por su numerador).
II. Se efectúan los productos indicados, se suprimen los paréntesis cuando los haya, y se reduce si se puede
III. Se agrupan las incógnitas en un miembro y los términos independientes en el otro
IV. Se reducen los términos semejantes y se encuentra el valor de la incógnita
V. Se comprueba la respuesta
Ejemplos:
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
A) 3x - 5 = x + 3
3x - x = 3 + 5
2x = 8
x =
B) 5x + 2a = b
5x = b - 2a
x =
C) El m. c. m. de los denominadores es 20
13x = 5(6 + x ) –2(1 + 3x) Al dividir y multiplicar, queda:
13x = 30 + 5x – 2 – 6x
13x - 5x + 6x = 30 – 2 Al reunir las incógnitas en el prime miembro
14x = 28 Al reducir los términos semejantes
x = 2 Al despejar la incógnita.
Por lo tanto, la raíz de la ecuación es 2
D) m. c. m. = 5y
15 – 2 = 65y
13 = 65y
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 43
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.
a) Enteras:
i. 8x - 4 + 3x = 7x + x + 14
ii. x - (2x + 1) = 8 - (3x + 8)
iii. x + 3 (x - 1) = 6 - 4 (2x + 3)
iv. ax - 4 = bx - 2
v. 3(2a - x) + ax = a2 + 9
vi. 5x = 8x – 15
vii. 21 - 6x = 27 – 8x
viii. x –(2x +1) = 8 –(3x +3)
ix. x + 3(x-1) = 6 – 4(2x + 3)
x. (x – 2)2 – (3 – x)2 = 1
b) Fraccionarias:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Para resolver problemas se debe:
I. Leer atentamente el enunciado del problema para comprenderlo.
II. Establecer la relación que existe entre los datos y las incógnitas
III. Plantear el problema en forma de ecuación
IV. Resolver y comprobar dicha ecuación, teniendo en cuenta los conocimientos previos
V. Comprobar el resultado de la ecuación con el texto del problema.
El idioma del álgebra es la ecuación. “Para resolver un problema referente a números ó relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del ingles u otra lengua al lenguaje algebraico”, escribió Newton en su manual de álgebra titulado “Aritmética Universal”.
A continuación se te presentan algunos ejemplos:
1.- En la granja “La Paloma” tienen un total de 3200 aves de las cuales hay 750 gallinas más que gallos. Por otra parte, el número de pollos es 5 veces el de los gallos. Cuántos pollos, gallos y gallinas tienen en su granja?
Lenguaje Común Lenguaje Algebraico
Número de gallos x
Tienen 750 gallinas más que de gallos 750 + x
El número de pollos es 5 veces el de gallos 5x
En total existen x + 750 + x +5x = 3200
Solución:
Al resolver la ecuación siguiendo los pasos anteriormente utilizados, al hallar el valor de las incógnita, x, que representa al número de gallos, x = 350, de ahí se determina que las gallinas son 350 + 750 = 1100 y los pollos 5 veces 350, es decir, 1750 que hacen el total de 3200 aves. Lo cual cumple con las condiciones del texto del problema.
2.- Pepe y Luis juegan a las canicas. Si Luís gana la siguiente canica tendrá la misma cantidad que Pepe, si Pepe gana la que sigue, tendrá el doble que Luís. ¿Cuántas canicas tiene cada uno en este momento?
Solución:
Sea X las canicas de Pepe y Y las de Luis. Si Luis gana la siguiente (y +1) tendrá las mismas que Pepe (x –1). Si Pepe gana (x + 1) tendrá el doble que Luis 2(y –1).
Entonces:
x + 1 = 2(y –1) - - - - - - - - - - (1)
x –1 = y + 1 - - - - - - - - - - - (2)
Al simplificar las ecuaciones, se forma el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
Despejando x de la ecuación (2) y sustituyéndola en la ecuación (1).
x = y + 2 - - - - - - - - - -- (3)
(y + 2 ) + 1 = 2y – 2
y + 3 = 2y – 2
y – 2y = – 2 – 3
– y = – 5
y = 5
Sustituyendo en la expresión (3)
x = 5 + 2
x = 7
Esto significa que Pepe tiene 7 canicas y Luis tiene cinco.
3.- El Sr. Ponce es propietario de un lote de fraccionamiento. No recuerda cuáles son las dimensiones del mismo, sólo que es un rectángulo con un área de 270 metros cuadrados y que tiene 3 metros más de fondo que de frente. ¿Cuáles son las medidas del terreno?
Solución:
Sea x la dimensión en metros el frente del lote, entonces el fondo mide (x + 3), las cuales al multiplicarlos nos da el área, pues el área del rectángulo es bh (fondo por frente):
x(x + 3) = 270
x2 + 3x – 270 = 0
Por la fórmula general:
x =
Sustituimos: x =
X =
X1 =
X2 =
La manera de interpretar los resultados obtenidos es que, como no hay distancias negativas, entonces el resultado negativo se toma como positivo, pues 15 x 18 = 270. Además se cumple con la condición del texto del problema, el fondo es mayor en tres unidades que el frente.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 44
Plantea y resuelve correctamente los siguientes problemas que producen ecuaciones de primer grado.
a) ¿Cuáles son los dos números cuya suma es 106, y el mayor de ellos excede al menor en ocho?
b) La suma de dos números es 540 y su diferencia es 32. ¿Cuáles son?
c) Tres canastas contienen 575 manzanas. La primera tiene 10 más que la segunda y 15 más que la tercera. ¿Cuántas manzanas contiene cada canasta?
d) Reparte $ 310 entre tres personas de modo que la segunda reciba $ 20 menos que la primera y $ 40 más que la tercera.
e) La edad de Pedro es el triple de la edad de Juan y ambas edades suman 40 años. Determina la edad de cada uno de ellos.
f) El doble de un número equivale al mismo número aumentado en 111 unidades. ¿Cuál es el número?
g) Si al triple de mi edad le suma siete años, tendría un siglo. ¿Cuál es mi edad?
h) El descuento aplicado a un equipo estereofónico fue de $ 1154.60 en base a una tasa del 18%. ¿Cuál es el precio normal del equipo?
i) Dos clubes que se hallan a 25 Km., entre sí decidieron acampar juntos en cierto punto intermedio. Si uno de los grupos camina un tercio de Km./Hora más aprisa que el otro y se encuentran en tres horas. ¿Cuál es la velocidad de cada grupo?
j) Enrique manejó 40 km. En los primeros 20 hizo un promedio de 60 Km./Hora y condujo los siguientes 20 a una velocidad promedio de 40 Km./Hora. ¿Cuál fue la velocidad promedio del recorrido total?
k) Juana pesa 115 libra y se sienta en un subibaja a ocho pies del punto de apoyo. Si Beatriz lo hace a diez pies del punto de apoyo para lograr el justo equilibrio. ¿Cuál es el peso de Beatriz?
l) Benitín y Eneas pesan juntos 250 Kg., si en un subibaja Eneas se encuentra a 6 metros del punto de apoyo y Benitín a 4 del mismo, quedan en equilibrio. Determina el peso de cada uno de ellos.
m) La base de un rectángulo mide 6 cm más que su altura, y el perímetro es de 96 cm. Encuentra las dimensiones del rectángulo.
n) La suma de la base y la altura de un triángulo es 63 cm. Calcula el área del triángulo, si el triple de su base supera en 7 cm al cuádruplo de su altura.
o) Uno de dos ángulos complementarios mide 6° más que el doble del otro. Calcula la medida de cada uno de los ángulos.
TEMA 2
SISTEMAS DE DOS Y TRES ECUACIONES CON 2 Y 3 INCÓGNITAS
ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
ECUACIONES SIMULTANEAS.- Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultaneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.
Ejemplo: 1) x + y = 5
2) x - y = 1
Las ecuaciones (1) y (2) son simultaneas porque x = 3 y, y = 2 satisfacen a ambas ecuaciones.
ECUACIONES EQUIVALENTES.- Son ecuaciones que se obtienen una de la otra.
Ejemplo: 1) x + y = 4
2) 2x + 2y = 8
Las ecuaciones (1) y (2) son equivalentes porque dividiendo por dos la ecuación (2) se obtiene la ecuación (1).
Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes.
ECUACIONES INDEPENDIENTES.- Son las que no se obtienen una de la otra. Cuando las ecuaciones independientes tienen una sola solución común son simultáneas:
ECUACIONES INCOMPATIBLES.- Son ecuaciones independientes, que no tienen solución común:
Ejemplo: x + 2y = 10
2x + 4y = 5
SISTEMA DE ECUACIONES.- Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Ejemplo:
2x + 3y = 13
4x - y = 5
Es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES.- Es un grupo de valores de las incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema.
Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.
Por ejemplo: la solución del sistema anterior es x = 2, y = 3
