lunes, 5 de julio de 2010

ECUACIONES

Cada uno de nosotros, en alguna ocasión, nos hemos encontrado indudablemente con que pueden adivinar números. Como regla, un prestidigitador propone realizar operaciones del siguiente carácter: pensar un número cualquiera, adicionar 2 , multiplicar el resultado por 3, restar 5, restar el numero pensado etc., en total cinco o una decena de operaciones. Luego el prestidigitador pide que le comuniquen el resultado y, al obtener la respuesta, enseguida comunica el número pensado.
Claro está que el secreto de la <> es muy fácil y se basa en las mismas ecuaciones.
Supongamos que el prestidigitador le haya propuesto a usted realizar un programa de operaciones indicado en la columna izquierda de la tabla siguiente:
Piensa un número
Adiciona 2 x + 2
el resultado multiplícalo por 3 3x + 6
Resta 5 3x + 1
Resta el número pensado 2x + 1
Multiplícalo por 2 4x + 2
Resta 1 4x + 1

Luego el prestidigitador pide que le comuniquen el resultado final y, al obtenerlo, dice al instante el número pensado. ¿Cómo lo hace?
Para comprender esto, hay que mirar la columna derecha de la tabla, donde las indicaciones del prestidigitador están traducidas al idioma del álgebra. Mirando esta columna se puede comprender, que si usted ha pensado cualquier número x, entonces realizadas todas las operaciones se obtendrá 4x + 1. Conociendo este resultado no es difícil <> el número.
Supongamos, por ejemplo, que usted haya dicho al prestidigitador que el resultado es 33. Entonces el prestidigitador resuelve mentalmente muy rápido la ecuación 4x + 1 = 33 y obtiene la respuesta; x = 8. Es decir, hace falta restar 1 del resultado final (33 - 1 = 32) y luego el número obtenido se divide entre 4 (32/4 =8 ), el resultado de esta división es el numero pensado (8). Si el resultado final es 25, entonces el prestidigitador hace mentalmente las siguientes operaciones 25 - 1 = 24, 24/4 = 6 y le comunica que usted ha pensado el número 6.
Como se ve todo es muy fácil. El prestidigitador sabe de antemano qué hace falta hacer con el resultado para obtener el número pensado.

TEMA 1
ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
IGUALDAD.- Es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor.
Ejemplo: a = b + c

IDENTIDAD.- Es una igualdad que se satisface para todos los valores de la variables que intervienen en ella.
Ejemplo: (a + b)2 = (a + b) (a + b)
a2 – m2 = (a + m) (a – m)
ECUACIÓN.- Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se satisfacen o verifican para determinados valores. Las incógnitas se representan, normalmente, por las últimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v, t.
Ejemplo 1:
5x + 2 = 17
Ejemplo 2:
y2 – 5y + 6 = 0

EL GRADO DE UNA ECUACIÓN.- Es el exponente mayor que tiene la incógnita.
Ejemplos: 5x + 2 = 17 De primer grado, también llamadas lineales.
y2 – 5y + 6 = 0 De segundo grado, también llamadas cuadráticas
Una ecuación puede ser de primer grado, con una o varias incógnitas, de segundo grado con una o varias incógnitas, etc. La ecuación de primer grado es la ecuación en que después de haber efectuado las operaciones indicadas la incógnita tiene exponente uno, mientras que la de segundo se queda con un exponente dos.
Ejemplos de ecuaciones de primer grado:
3x + 5 = 15 es ecuación de primer grado, ya que el exponente es uno
3x + 7 + 8x = 37 - 4x es ecuación de primer grado
es ecuación de primer grado
ax + b2 = a2 - bx es ecuación de primer grado

MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN:- Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro a la expresión que se encuentra a la derecha. Ejemplo:

5x + 2 = 17

CLASES DE ECUACIONES
ECUACIÓN ENTERA.- Es cuando ninguno de los términos de la ecuación tiene incógnitas en el denominador. Ejemplos:
3x + 4 = 7x
ECUACIÓN FRACCIONARIA.- Es la ecuación tiene alguno o todos sus términos tienen incógnitas en el denominador. Ejemplos:


ECUACIÓN NUMÉRICA.- Es la ecuación que no tiene más letras que la incógnita. Ejemplos:
3x + 4 = 7x
ECUACIÓN LITERAL.- Es la ecuación que además de la incógnita tiene otra u otras letras, que vienen siendo literales. Ejemplos:

5x + 2a = b

RAÍCES O SOLUCIONES.- Son los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación. Si al sustituir en la ecuación un valor atribuido a la incógnita se obtiene una identidad, la ecuación queda satisfecha.
Ejemplo: 3x + 2 = 5x
Si se sustituye x por 5, se obtiene 15 + 2 25, la ecuación no quedó satisfecha.
Si se sustituye x por 1, resulta 3x + 2 = 5, la ecuación se satisface para x = 1
El número de raíces de una ecuación es el grado que le corresponde.

DOS O MÁS ECUACIONES SON EQUIVALENTES.- Son cuando una se obtiene de la otra, ya sea sumando, restando, multiplicando o dividiendo ambos miembros de la ecuación por la misma cantidad. Ejemplo:
Las ecuaciones: y 5x - 15 = x + 3 son equivalentes, puesto que la segunda se obtuvo al multiplicar ambos miembros de la primera ecuación por 5 ( x + 3 )


AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES.- Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales, los resultados serán iguales. Ejemplos.
3x + 1 = 3  3x + 1 + 2 = 3 + 2 (suma 2)
5x = 15  5x –1 = 15 –1 (resta 1)
2x = 10  4x = 20 (multiplica por 2)
2x = 8  x = 4 (divide entre 2)

TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS.- Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro. Al hacer la transposición de términos se aplica la siguiente regla:
“Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo”.
Los términos iguales con signos iguales en distintos miembros se pueden suprimir.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 40
Contesta las siguientes preguntas.
a) ¿Qué es una igualdad?
b) ¿Qué es una ecuación?
c) ¿Qué es una identidad?
d) ¿Qué es una incógnita?
e) ¿Cuáles son las letras del abecedario que representan a las incógnitas?
f) ¿Cuántas y cuáles son las clases de ecuaciones más comunes? Escribe un ejemplo de cada clase.
g) ¿A qué se le llama raíz de una ecuación?
h) Menciona el axioma fundamental de las ecuaciones
i) ¿A qué se le llama transposición de términos?
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 41
De acuerdo a la ecuación: 4x – 9 = 3x – 5; contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el primer miembro?
b) Menciona dos términos.
c) Determina el grado de la ecuación.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 42
Clasifica las ecuaciones que se mencionan a continuación, escribiéndolas en la columna(s) que le(s) corresponda(n) del siguiente cuadro.
i. 8x - 4 + 3x = 7x + x + 14
ii. x - (2x + 1) = 8 - (3x + 8)
iii. ax - 4 = bx - 2
iv. 3(2a - x) + ax = a2 + 9
v.
vi.
Ecuación numérica Ecuación literal Ecuación fraccionaria Ecuación entera














RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se siguen los siguientes pasos:
I. Se suprimen los denominadores si los hay (se busca el mcm de los denominadores, se divide entre cada denominador y se multiplica por su numerador).
II. Se efectúan los productos indicados, se suprimen los paréntesis cuando los haya, y se reduce si se puede
III. Se agrupan las incógnitas en un miembro y los términos independientes en el otro
IV. Se reducen los términos semejantes y se encuentra el valor de la incógnita
V. Se comprueba la respuesta

Ejemplos:
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
A) 3x - 5 = x + 3
3x - x = 3 + 5
2x = 8
x =

B) 5x + 2a = b
5x = b - 2a
x =

C) El m. c. m. de los denominadores es 20

13x = 5(6 + x ) –2(1 + 3x) Al dividir y multiplicar, queda:
13x = 30 + 5x – 2 – 6x
13x - 5x + 6x = 30 – 2 Al reunir las incógnitas en el prime miembro
14x = 28 Al reducir los términos semejantes
x = 2 Al despejar la incógnita.
Por lo tanto, la raíz de la ecuación es 2

D) m. c. m. = 5y
15 – 2 = 65y
13 = 65y



ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 43
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.
a) Enteras:
i. 8x - 4 + 3x = 7x + x + 14
ii. x - (2x + 1) = 8 - (3x + 8)
iii. x + 3 (x - 1) = 6 - 4 (2x + 3)
iv. ax - 4 = bx - 2
v. 3(2a - x) + ax = a2 + 9
vi. 5x = 8x – 15
vii. 21 - 6x = 27 – 8x
viii. x –(2x +1) = 8 –(3x +3)
ix. x + 3(x-1) = 6 – 4(2x + 3)
x. (x – 2)2 – (3 – x)2 = 1

b) Fraccionarias:
i.
ii.
iii.

iv.
v.
vi.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Para resolver problemas se debe:
I. Leer atentamente el enunciado del problema para comprenderlo.
II. Establecer la relación que existe entre los datos y las incógnitas
III. Plantear el problema en forma de ecuación
IV. Resolver y comprobar dicha ecuación, teniendo en cuenta los conocimientos previos
V. Comprobar el resultado de la ecuación con el texto del problema.
El idioma del álgebra es la ecuación. “Para resolver un problema referente a números ó relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del ingles u otra lengua al lenguaje algebraico”, escribió Newton en su manual de álgebra titulado “Aritmética Universal”.
A continuación se te presentan algunos ejemplos:
1.- En la granja “La Paloma” tienen un total de 3200 aves de las cuales hay 750 gallinas más que gallos. Por otra parte, el número de pollos es 5 veces el de los gallos. Cuántos pollos, gallos y gallinas tienen en su granja?

Lenguaje Común Lenguaje Algebraico
Número de gallos x
Tienen 750 gallinas más que de gallos 750 + x
El número de pollos es 5 veces el de gallos 5x
En total existen x + 750 + x +5x = 3200

Solución:
Al resolver la ecuación siguiendo los pasos anteriormente utilizados, al hallar el valor de las incógnita, x, que representa al número de gallos, x = 350, de ahí se determina que las gallinas son 350 + 750 = 1100 y los pollos 5 veces 350, es decir, 1750 que hacen el total de 3200 aves. Lo cual cumple con las condiciones del texto del problema.

2.- Pepe y Luis juegan a las canicas. Si Luís gana la siguiente canica tendrá la misma cantidad que Pepe, si Pepe gana la que sigue, tendrá el doble que Luís. ¿Cuántas canicas tiene cada uno en este momento?
Solución:
Sea X las canicas de Pepe y Y las de Luis. Si Luis gana la siguiente (y +1) tendrá las mismas que Pepe (x –1). Si Pepe gana (x + 1) tendrá el doble que Luis 2(y –1).
Entonces:
x + 1 = 2(y –1) - - - - - - - - - - (1)
x –1 = y + 1 - - - - - - - - - - - (2)
Al simplificar las ecuaciones, se forma el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Despejando x de la ecuación (2) y sustituyéndola en la ecuación (1).
x = y + 2 - - - - - - - - - -- (3)
(y + 2 ) + 1 = 2y – 2
y + 3 = 2y – 2
y – 2y = – 2 – 3
– y = – 5
y = 5
Sustituyendo en la expresión (3)
x = 5 + 2
x = 7
Esto significa que Pepe tiene 7 canicas y Luis tiene cinco.

3.- El Sr. Ponce es propietario de un lote de fraccionamiento. No recuerda cuáles son las dimensiones del mismo, sólo que es un rectángulo con un área de 270 metros cuadrados y que tiene 3 metros más de fondo que de frente. ¿Cuáles son las medidas del terreno?

Solución:
Sea x la dimensión en metros el frente del lote, entonces el fondo mide (x + 3), las cuales al multiplicarlos nos da el área, pues el área del rectángulo es bh (fondo por frente):

x(x + 3) = 270
x2 + 3x – 270 = 0

Por la fórmula general:
x =
Sustituimos: x =
X =
X1 =
X2 =
La manera de interpretar los resultados obtenidos es que, como no hay distancias negativas, entonces el resultado negativo se toma como positivo, pues 15 x 18 = 270. Además se cumple con la condición del texto del problema, el fondo es mayor en tres unidades que el frente.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 44
Plantea y resuelve correctamente los siguientes problemas que producen ecuaciones de primer grado.
a) ¿Cuáles son los dos números cuya suma es 106, y el mayor de ellos excede al menor en ocho?
b) La suma de dos números es 540 y su diferencia es 32. ¿Cuáles son?
c) Tres canastas contienen 575 manzanas. La primera tiene 10 más que la segunda y 15 más que la tercera. ¿Cuántas manzanas contiene cada canasta?
d) Reparte $ 310 entre tres personas de modo que la segunda reciba $ 20 menos que la primera y $ 40 más que la tercera.
e) La edad de Pedro es el triple de la edad de Juan y ambas edades suman 40 años. Determina la edad de cada uno de ellos.
f) El doble de un número equivale al mismo número aumentado en 111 unidades. ¿Cuál es el número?
g) Si al triple de mi edad le suma siete años, tendría un siglo. ¿Cuál es mi edad?
h) El descuento aplicado a un equipo estereofónico fue de $ 1154.60 en base a una tasa del 18%. ¿Cuál es el precio normal del equipo?
i) Dos clubes que se hallan a 25 Km., entre sí decidieron acampar juntos en cierto punto intermedio. Si uno de los grupos camina un tercio de Km./Hora más aprisa que el otro y se encuentran en tres horas. ¿Cuál es la velocidad de cada grupo?
j) Enrique manejó 40 km. En los primeros 20 hizo un promedio de 60 Km./Hora y condujo los siguientes 20 a una velocidad promedio de 40 Km./Hora. ¿Cuál fue la velocidad promedio del recorrido total?
k) Juana pesa 115 libra y se sienta en un subibaja a ocho pies del punto de apoyo. Si Beatriz lo hace a diez pies del punto de apoyo para lograr el justo equilibrio. ¿Cuál es el peso de Beatriz?
l) Benitín y Eneas pesan juntos 250 Kg., si en un subibaja Eneas se encuentra a 6 metros del punto de apoyo y Benitín a 4 del mismo, quedan en equilibrio. Determina el peso de cada uno de ellos.
m) La base de un rectángulo mide 6 cm más que su altura, y el perímetro es de 96 cm. Encuentra las dimensiones del rectángulo.
n) La suma de la base y la altura de un triángulo es 63 cm. Calcula el área del triángulo, si el triple de su base supera en 7 cm al cuádruplo de su altura.
o) Uno de dos ángulos complementarios mide 6° más que el doble del otro. Calcula la medida de cada uno de los ángulos.

TEMA 2
SISTEMAS DE DOS Y TRES ECUACIONES CON 2 Y 3 INCÓGNITAS
ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
ECUACIONES SIMULTANEAS.- Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultaneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.
Ejemplo: 1) x + y = 5
2) x - y = 1

Las ecuaciones (1) y (2) son simultaneas porque x = 3 y, y = 2 satisfacen a ambas ecuaciones.
ECUACIONES EQUIVALENTES.- Son ecuaciones que se obtienen una de la otra.
Ejemplo: 1) x + y = 4
2) 2x + 2y = 8
Las ecuaciones (1) y (2) son equivalentes porque dividiendo por dos la ecuación (2) se obtiene la ecuación (1).
Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes.
ECUACIONES INDEPENDIENTES.- Son las que no se obtienen una de la otra. Cuando las ecuaciones independientes tienen una sola solución común son simultáneas:
ECUACIONES INCOMPATIBLES.- Son ecuaciones independientes, que no tienen solución común:
Ejemplo: x + 2y = 10
2x + 4y = 5
SISTEMA DE ECUACIONES.- Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Ejemplo:
2x + 3y = 13
4x - y = 5
Es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES.- Es un grupo de valores de las incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema.
Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.
Por ejemplo: la solución del sistema anterior es x = 2, y = 3

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

Las características son las siguientes:
 Son dos términos, separados por el signo ( + ) cuando sea suma, y por el signo ( - ) cuando sea una diferencia.
 Los coeficientes deberán tener raíz cúbica exacta.
 Los exponentes deberán ser divisibles entre 3.
El procedimiento que se sigue para su factorización es:
“Se abren dos paréntesis, el primero es para un binomio formado por las raíces cúbicas de los términos dados, separados por el mismo signo; el segundo paréntesis es para un trinomio que se forma con el cuadrado del primer término del binomio, menos ó más el primero por el segundo términos del binomio (dependiendo si es suma o resta), y por último, más el cuadrado del segundo término”.
EJEMPLOS: A) factoriza: 27x3 + 1
Solución:

Con las raíces cúbicas se forma un binomio: ( 3x, + 1)
De acuerdo al binomio, se forma el trinomio: Cuadrado del primero: 9x2
Menos el primero por el segundo: – 3x
Más el cuadrado del segundo: 1
La factorización es: 27x3 + 1 = ( 3x + 1 ) ( 9x2 - 3x + 1 )

B) factoriza: 8a3b6 – m3
Solución:

Con las raíces cúbicas se forma un binomio: ( 2ab2 – m)
De acuerdo al binomio, se forma el trinomio: Cuadrado del primero: 4a2b4
Más el primero por el segundo: + 2ab2m
Más el cuadrado del segundo: m2
La factorización es: 8a3b6 – m3 = ( 2ab2 - m ) ( 4a2b4 + 2ab2m + m2 )
NOTA: Se puede observar que cuando es suma de cubos, el segundo término del trinomio es negativo; mientras que, cuando es una diferencia de cubos, todos los términos del trinomio son positivos.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 35
Realiza lo que se te indica:
a) Escribe las características de una suma de cubos y de una diferencia de cubos.
b) Escribe la manera en que se factoriza una suma de cubos.
c) Escribe la manera en que se factoriza una diferencia de cubos.
d) Factoriza las siguientes sumas o diferencias de cubos.
A) x6 + a6
B) a3 + 8
C) 27 + y3
D) x3 + 1/64
E) x3 - 1/8
F) x3 + 27
G) a10 - x15
H) x6 - y6
I) x6 + y12
J) a6 - 64.x6

D) TRINOMIOS
1) Trinomio cuadrado perfecto.
Este es un trinomio que se obtiene al elevar al cuadrado un binomio, por lo que sus características son:
 Deben ser tres términos.
 Los extremos deben tener raíz cuadrada exacta (después de ordenarlo).
 El término medio es el doble producto de las raíces de los extremos.
El procedimiento que se sigue para su factorización es:
“Se abre un paréntesis al cuadrado, donde se ponen las dos raíces de los extremos separados por el signo del término medio del trinomio”
EJEMPLOS:
A) factoriza: 4x2 + 4x + 1
Solución: ¿Será trinomio cuadrado perfecto?
4x2, su raíz cuadrada es 2x
1, su raiz cuadrada es 1
4x, es el doble producto de las dos raíces: 2 ( 2x ) ( 1), por lo tanto:
Sí es un trinomio cuadrado perfecto, por lo tanto, su factorización es:
4x2 + 4x + 1 = ( 2x + 1 )2

B) factoriza: 4x2 - 12xy + 9y2
Solución: ¿Será trinomio cuadrado perfecto?
4x2, su raíz cuadrada es 2x
9y2, su raiz cuadrada es 3y
12xy, es el doble producto de las dos raíces: 2 ( 2x ) ( 3y ), por lo tanto:
Sí es un trinomio cuadrado perfecto, y su factorización es:
4x2 - 12xy + 9y2 = ( 2x + 3y )2

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 36
Realiza lo que se te indica:
a) Escribe las características de un trinomio cuadrado perfecto
b) Escribe la manera en que se factoriza un trinomio cuadrado perfecto
c) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando el método de trinomio cuadrado perfecto
A) 4y2 - 4y + 1 =
B) 16u2 + 16u + 4 =
C) 9v2 - 18v + 9 =
D) U2 + 16U4 + 64U6 =
E) 16a2b2 - 8ab2c2 + b2c4 =
F) 36U4 + 108U2V2 + 81V4 =
G) 16S2 – 40ST + 25T2 =
H) 49R2 - 112R + 64 =
I) =


2) Trinomio No Cuadrado Perfecto ó del forma: x2 + bx + c
Este trinomio por lo general es el resultado de multiplicar dos binomios que tienen un término común. Por lo que sus características son:
 Deben ser tres términos
 Un extremo debe tener raíz cuadrada exacta, el otro no.
 El término medio debe ser la suma algebraica de los factores del extremo que no es cuadrado.
El procedimiento que se sigue para su factorización es:
“Se escriben dos paréntesis, el primer término de cada paréntesis es el común ( la raíz cuadrada) y como segundo término dos factores del extremo no cuadrado que sumados den el término medio”.
EJEMPLOS:
A) factoriza: a2 + 5a + 6
Solución: 1º verificamos que se trata de un trinomio de este tipo.
2º factorizamos los extremos:
a2 + 5a + 6 =
a + 2
a + 3
3º los multiplicamos en forma cruzada y se suman los resultados obtenidos en las multiplicaciones:
a2 + 5a + 6 =
a + 2 = 2a
a + 3 = 3a
5a
Los factores estarán correctos cuando la suma sea igual al término medio del trinomio.
Para escribir los factores se toman en forma horizontal en dos paréntesis. Por lo tanto:
a2 + 5x + 6 = ( a + 2 ) ( a + 3 )

B) factoriza: a2 - a - 6
Solución: a2 - a - 6
a +2 = 2a
a -3 = -3a
– a
Por lo tanto: la factorización es: a2 - a - 6 = ( a + 2 ) ( a - 3 )

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 37
Realiza lo que se te indica:
a) Escribe las características de un trinomio no cuadrado perfecto, de la forma x2 + bx +c
b) Escribe la manera en que se factoriza un trinomio no cuadrado perfecto, de la forma x2+bx+c
c) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando el método de trinomio no cuadrado perfecto, de la forma x2 + bx +c
A)
B) a2 –7a + 12 =
C) x2 –11x + 30 =
D) a2 – 4a – 21 =
E) x2 – x – 2 =



3) Trinomio Caso Especial, ó de la forma: ax2 + bx + c
A este trinomio le llamamos de esta forma para diferenciarlo de los dos anteriores, por el coeficiente del término cuadrático que debe ser diferente de uno. En esta forma: a, b y c representan números reales.
El procedimiento que se sigue para su factorización es el método anterior:
EJEMPLO: factoriza: 3x2 + 5x + 2
Solución.
Se verifica que se trata de un trinomio de este tipo.
Factorizamos los extremos:
3x2 + 5x + 2 =
3x + 2
x + 1
Los multiplicamos en forma cruzada y se suman los resultados obtenidos en las multiplicaciones:
3x2 + 5x + 2 =
3x + 2 = + 2x
x + 1 = + 3x
+ 5x
Los factores estarán correctos cuando la suma sea igual al término medio del trinomio.
Para escribir los factores se toman en forma horizontal en dos paréntesis. Por lo tanto:
a2 + 5x + 6 = ( 3x + 2 ) ( x + 1 )
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 38
Realiza lo que se te indica:
a) Escribe las características de un trinomio cuadrado caso especial, de la forma
ax2 + bx +c
b) Escribe la manera en que se factoriza un trinomio cuadrado caso especial, de la forma ax2+bx+c
c) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando el método de trinomio cuadrado caso especial, de la forma ax2 + bx +c
A) 2x2 + 11x + 12 =
B) 2x2 + 6x – 20 =
C) 2x2 - 7x – 30 =
D) 6x2 - 16x – 6 =
E) 6x2 + 17x + 10 =
F) 20x2 + 41x + 20 =
G) 12x2 - x – 20 =
H) 15x2 + 34xy - 77y2 =
I) 45x2 - 78xy - 63y2 =
J) 10x2 + 23x + 12
K) 14x2 + 29x – 15

E) POLINOMIO CUBO PERFECTO.
Este polinomio es el resultado de elevar al cubo un binomio, por lo que sus características son:
 Tiene cuatro términos
 Dos términos son cubos perfectos ( por lo general los extremos)
 Dos términos deben ser los triples productos de una raíz cúbica por el cuadrado de la otra raíz.
Una vez ordenado el polinomio, poniendo en los extremos los términos que son cubos perfectos.
El procedimiento que se sigue para su factorización es:
“Se escribe un paréntesis elevado al cubo, cuyos términos son la raíces cúbicas de los extremos, separados por el signo del cuarto término del polinomio”.
EJEMPLOS:
A) factoriza: a3 + 3a2 + 3a + 1
Solución: ¿Será polinomio cubo perfecto?
a3, su raíz cúbica es: a
1, su raíz cúbica es: 1
3a2, es el triple producto del cuadrado del primero por el segundo: 3(a)2 ( 1)
3a, es el triple producto del primero por el cuadrado del segundo: 3(a) ( 1)2
Sí es un polinomio cubo perfecto, por lo tanto, su factorización es:
a3 + 3a2 + 3a + 1 = ( a + 1 ) 3

B) factoriza: 8a3 + 36a2 b + 54ab2 + 27
Solución: ¿Será polinomio cubo perfecto?
8a3, su raíz cúbica es: 2a
27, su raíz cúbica es: 3
36a2 b , es el triple producto del cuadrado del primero por el segundo: 3(2a)2 ( 3) = 3(4a2) (3)
54ab2, es el triple producto del primero por el cuadrado del segundo: 3(2a) (3)2 = 3(2a) (9)
Sí es un polinomio cubo perfecto, por lo tanto, su factorización es:
8a3 + 36a2 b + 54ab2 + 27 = ( 2a + 3b )3

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 39
Realiza lo que se te indica:
a) Escribe las características de un polinomio cubo perfecto.
b) Escribe la manera en que se factoriza un polinomio cubo perfecto.
c) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando el método de polinomio cubo perfecto.

A) a3 + 6a2 + 12a + 8 =
B) 64m6 + 96m2n + 48m2n2 + 8n3 =
C) 8a3 - 12a2 +6a – 1 =
D) m6 -6m4 +12m2 -8 =
E) 8b9 + 12b6c + 6b3c2 + c3 =

Observaciones:
Cuando se quiere factorizar una expresión se observa las características que tiene, y se procede a escribir los factores de acuerdo con el caso que sea.
Si en algún problema se encuentran varias factorizaciones, si es posible, el factor común deberá hacerse como primer paso.
También, cuando se factoriza una expresión se debe llegar a todos los factores posibles, así, si ya se aplicó un caso y los factores resultantes todavía tienen factores, nuevamente deberán hallarse éstos.

EJEMPLOS DE FACTORIZACIÓN MÚLTIPLE:
A) Factoriza: 4a2 - 4b2
Esta expresión tiene factor común y es diferencia de cuadrados.
Solución: 1º Se halla el factor común:
4a2 - 4b2 = 4 (a2 - b2 )
2º Se factoriza la diferencia de cuadrados:
4a2 - 4b2 = 4 (a2 - b2 ) = 4 ( a + b ) ( a - b )
B) Factoriza: a6 - 1
Esta expresión es diferencia de cuadrados y diferencia de cubos.
Solución: 1º Se factoriza la diferencia de cuadrados:
a6 - 1 = ( a3 - 1 ) ( a3 + 1 )
2º Se factorizan la suma y la diferencia de cubos:
a6 - 1 = ( a+ 1 ) (a2 – a + 1) ( a –1 ) ( a2 + a + 1 )
C) Factoriza: x5 – x
Esta expresión tiene factor común monomio y luego dos diferencias de cuadrados.
Solución: 1º factor común:
x5 - x = x (x4 - 1 )
2º diferencia de cuadrados:
x5 - x = x (x4 - 1 ) = x (x2 - 1) (x2 + 1 )
3º diferencia de cuadrados:
x5 - x = x (x4 - 1 ) = x (x2 - 1) (x2 + 1 )
x5 – x = x (x2 + 1) (x + 1 ) ( x - 1 )

FACTORIZACION

La factorización es importante en matemáticas, porque se puede usar para reducir el estudio de una expresión complicada, al de varias expresiones más simples.
La factorización es el proceso de expresar una suma de términos en forma de producto. Por ejemplo, como:
x2 – 9 = (x + 3) (x – 3); esto significa que, los polinomios x + 3, y, x – 3, son factores de x2 – 9.
Cada uno de los números que se multiplican entre sí para obtener un producto, se llama factor.
Se dice que un polinomio está factorizado completamente si se expresa como el producto de polinomios con coeficientes enteros y ninguno de los factores de la expresión se puede escribir como el producto de dos polinomios con coeficientes enteros. Es decir, factorizar un polinomio quiere decir expresarlo en forma de producto de polinomios irreducibles.
Se ha hablado de algunos productos que se pueden obtener sin plantear la operación, o sea de los productos notables, conociendo estos, una vez obtenido el producto es fácil regresar a los factores, esta operación invertida se llama factorización.
Al igual que los productos notables, se presentan los siguientes casos, los cuales nos pueden servir como fórmulas.
A) Factor común:
a) Monomio: a2 + ab = a ( a + b )
b) Polinomio: a ( a + b ) - c ( a + b ) = ( a + b ) ( a - c )
c) Por agrupación de términos: 2ax - 5a + 2bx - 5b = ( 2x - 5 ) ( a + b )
B) Diferencia de cuadrados: a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )
C) Suma y diferencia de cubos: a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 - ab + b2 )
a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2 )
D) Trinomios
a) Trinomio cuadrado perfecto: a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2
a2 -2ab + b2 = ( a - b )2
b) Trinomio No cuadrado perfecto, ó de la forma: x2 + bx + c:
a2 + 3ab + 2b2 = ( a + 2b ) ( a + b )
c) Trinomio Caso Especial, ó de la forma :x2 + bx + c:
2a2 + 5a + 3 = ( 2a + 3 ) ( a + 1 )
E) Polinomio Cubo perfecto: a3 + 3a2 + 3a + 1 = ( a + 1 )3
a3 – 3a2 + 3a - 1 = ( a - 1 )3
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 32
Contesta de manera breve las siguientes preguntas.
a) ¿A qué se le llama factorización?
b) ¿Cuáles son los casos más comunes de factorización?
c) Explica de una manera breve la manera en que se factoriza una expresión algebraica por el método de factor común monomio.
d) Explica de una manera breve la manera en que se factoriza una expresión algebraica por el método de factor común polinomio.
e) Explica de una manera breve la manera en que se factoriza una expresión algebraica por el método de factor común por agrupación de términos.

A) Factor común:
Llamaremos factor común, al factor que aparece en todos los términos de un polinomio, y pueden ser:
a) Monomio.- El factor común no es más que la propiedad distributiva, aplicando la simétrica de la igualdad.
Para factorizar de esta manera, se siguen los siguientes pasos:
 Se halla el M. C. D. de todos los coeficientes de lo términos dados (se factorizan y se toman los factores comunes).
 Las literales comunes se toman con su menor exponente.
 La factorización se escribe: “el factor común seguido de un paréntesis en donde aparecen los cocientes de dividir cada término de la expresión que se esté factorizando, entre el factor común”
EJEMPLOS:
A) Factoriza: 2x2y + 4x2y2
Solución: M.C.D. = 2xy
2x2y + 4x2y2 = 2x2 y ( x + 2y )
B) Factoriza: 24a3b3 - 18a4b6 + 48a5b5
24 2 18 2 48 2
12 2 9 3 24 2
6 2 3 3 12 2
3 3 1 6 2
1 3 3
1 Los factores comunes son: 2 y 3, por lo tanto, al multiplicarlos es 6
Las literales se toman con su exponente más pequeño, es decir, son: a3 , b3 por lo tanto,
M.C.D. = 6a3b3
Siguiendo las indicaciones, para la factorización se escribe el M.C.D., o factor común, luego se abre un paréntesis donde se anota el resultado de dividir cada término del polinomio dado entre el factor común.
Solución: 24a3b3 - 18a4b6 + 48a5b5 = 6a3b3 (4 - 3ab3 + 8a2b2)

b) Polinomio.- Se siguen los mismos pasos, solamente que el factor común en este caso es un paréntesis, es decir, un polinomio.
EJEMPLOS:
A) Factoriza: x ( a + 1 ) - y ( a + 1 )
El factor común es el polinomio: ( a + 1 )
Se escribe el factor común, luego se abre un paréntesis donde se anota el resultado de dividir cada término del polinomio dado entre el factor común.
Solución: x ( a + 1 ) - y ( a + 1 ) = ( a + 1 ) ( x - y )

B) Factoriza: 2x ( y - 1 ) - ( y - 1 ) ( 3x - 4 )
Factor común =( y - 1 )
Solución: 2x ( y - 1 ) - ( y - 1 ) ( 3x - 4 ) = ( y - 1 ) ( 2x - 3x - 4) = ( y - 1 ) ( - x + 4 ) = ( y - 1 ) ( 4 - x)

c) Por agrupación de términos.- En este caso, se trata de formar grupos de igual número de términos, de tal manera que tengan el mismo factor común (primero monomio y luego polinomio).
EJEMPLOS:
A) factoriza: 2a2 - 3a + 2ax - 3x
Solución: 1º agrupamos los términos que tengan factor común: ( 2a2 + 2ax ) - ( 3a - 3x )
2º factorizamos cada grupo (factor común monomio): ( 2a2 + 2ax ) = 2a ( a - x )
( 3a - 3x ) = 3 ( a - x )
2a2 - 3a + 2ax - 3x = ( 2a2 + 2ax ) - ( 3a - 3x )
3º factorizamos (factor común polinomio) = 2a ( a - x ) - 3 ( a - x )
2a2 - 3a + 2ax - 3x = ( a - x ) ( 2a - 3 )
B) factoriza: a2x + a2 - b2x - b2
Solución: (a2x - b2x) + (a2 - b2) = x (a2 - b2) + (a2 - b2)
a2x + a2 - b2x - b2 = (a2 - b2) ( x + 1 )

C) factoriza: 3x3 - 9 ax2 - x + 3a
Solución: 3x3 - 9 ax2 - x + 3a = (3x3 - 9 ax2 ) - ( x - 3a )
= 3x2 ( x - 3a ) - ( x - 3a )
3x3 - 9 ax2 - x + 3a = ( x - 3a ) ( 3x2 - 1 )
NOTA.- Al agrupar los términos en los paréntesis, entre ambos debe haber un signos que puede ser postivo o negativo. Será negativo cuando sea necesario algún cambio de signos en los términos del segundo paréntesis. Así en el ejemplo B aparece el signo negativo porque ( - x + 3a ) se cambió a ( x - 3a ).


ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 33
1. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando el método de factor común monomio.
a) 12xy - 30xz =
b) 9x2y + 21x =
c) 4u2v2 - 12uv2 =
d) 7ab - 14ac + 21ad =
e) 12abc2 - 4bc + 6ab2c =
f) 5axy4 - 6ax4y + 7a2xy =
g) 13 - 26hk - 39uv =
h) x2y - x4y2 + ax6y6 =
i) 15ap2 - 30a2p2 + 5p4 =
j) 3a2x3y + 4a5x2y3 - 6a4x6 - 10ax4 =
k) 3m6p4q2 - 9m5p2qx + 3m7p3qx + 3m4p2q - 6m5p4qx2y =

2. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando el método de factor común polinomio.
a) 2x(y –1) – (y –1) =
b) 2a (x +3) + (x +3) (3 a + 5) =
c) 3a (x +y) –5 (x +y) =
d) (a +3) (a –1) – (a –1) (a – 8) =
e) (x – 5) (x +3) – (x +3) (2x – 8) =

3. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando el método de factor común por agrupación de términos.
a) 2ax + 2bx + 5a - ay - by + 5b =
b) a2y + ab2 - axy - b2x =
c) 10am2xz – 15bm2xz + 10ax - 15bx - 8am2yz + 12bm2yz - 8ay + 12by =
d) ac + ad + bc bd =
e) 18 a3 +12 a2 –15 a – 10 =
B) Diferencia de cuadrados.
Las características de una diferencia de cuadrados son:
 Dos términos separados por el signo menos.
 Los coeficientes deben tener raíz cuadrada exacta.
 Los exponentes de las literales deberán ser pares.
El procedimiento que se sigue para su factorización es:
“Se escriben dos paréntesis, los cuales serán dos binomios conjugados (una suma y una diferencia), cuyos términos son las raíces cuadradas de la expresión que se desea factorizar”.
EJEMPLOS:
A) factoriza: 4x2 - 9y4 =


Solución: 4x2 - 9y4 = ( 2x + 3y2 ) ( 2x - 3y2 )
B) factoriza: a2 - 16x6 =


Solución: a2 - 16x6 = ( + 4x3 ) ( - 4x3 )


ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 34
Efectúa lo que se te indica:
a) Escribe las características de una diferencia de cuadrados.
b) Escribe la manera en que se factoriza una diferencia de cuadrados.
c) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando el método de diferencia de cuadrados.
A) 144m6 - 121x8y4 =
B) -n2/4 + a4b6/9 =
C) x2y2 - (x2 + y2)2 =
D) (x - y)2 - a2 =
E) 3z4m2 - 2y6 =
F) x2y2 - 9z2 =
G) 4a2b2c2d2 – 16 =
H) 4a2 - 9w2 =

PRODUCTOS NOTABLES

Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado se puede escribir por simple inspección, es decir con solamente aplicar la regla, sin efectuar el proceso de multiplicación.
Los productos notables mas conocidos, son:
Binomios al cuadrado: ( a  b)2 = a2  ab + b2
Binomios conjugados: (a + b) (a – b)= a2 – b2
Binomios con un término común: (a + b) (a + x) = a2 + ( b + x)a + bx
Binomio al cubo: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Binomio por trinomio: (a  b) (a2  ab + b2) = a3  b3


ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 24
Contesta las siguientes preguntas:
a) ¿A qué se le llaman productos notables?
b) ¿Cuál es el método para resolver los productos notables?
c) Menciona los casos más comunes de productos notables.
d) En una hoja tamaño carta escribir las reglas de los productos notables con un ejemplo de cada uno.
e) Completa la siguiente tabla, escribiendo el nombre o un ejemplo del producto notable.

NOMBRE DEL PRODUCTO NOTABLE EJEMPLO
Binomio al cuadrado



Binomio al cubo





1. BINOMIO AL CUADRADO (a  b)2 = a2  ab + b2
El binomio al cuadrado, es igual al cuadrado del primer término más o menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
Instrucciones: Por simple inspección determina el resultado de los binomios al cuadrado:
Ejemplo 1
(2a2 - b2)2 = (2a2)2 - 2(2a2) (b) + (b)2= 4a4-4a2b + b2
Ejemplo 2:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 25
Efectúa lo que se te indica:
a) Escribe la regla para elevar al cuadrado la suma de dos cantidades.
b) Escribe la regla para elevar al cuadrado la diferencia de dos cantidades.
c) Escribe el nombre del resultado de elevar al cuadrado la suma o la diferencia de dos cantidades.
d) Desarrolla los siguientes binomios al cuadrado sin efectuar las multiplicaciones. Es decir, por simple inspección.
A) (x + 6)2 =
B) (2x - 6)2 =
C) (2x + 6y)2 =
D) (2x - 6y)2 =
E) (A2 - 2)2 =
F) (2b2 + 1t)2 =
G) (4 - 5w2)2 =
H) (2u2 - av)2 =
I) (2ax - 3by)2 =
J) (2x2 + 3xy2)2 =
K) (m + 3)2 =
L) ( am + an )2 =
M) (a2x +by2)2 =
N) (ax-2- yn)2 =
O) (5a3b2 - 6ab3)2 =
2. BINOMIOS CONJUGADOS (a + b) (a – b)= a2 – b2
Se llaman binomios conjugados aquellos que solo difieren en un signo. El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Nota: Se considera primer término al que tiene signos iguales.
Instrucciones: Por simple inspección determina el resultado de los binomios conjugados:
Ejemplo 1:
(ab +1) (ab –1) = (ab)2 – (1)2 = a2b2 – 1
Ejemplo 2:
(-x2 + y2) (x2 + y2) = (y2)2 – (x2)2 = y4 – x4

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 26
Efectúa lo que se te indica:
a) Explica qué son los binomios conjugados
b) Escribe la regla para elevar para hallar el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, o binomios conjugados.
c) Escribe el nombre del resultado de los binomios conjugados.
d) Desarrolla los siguientes binomios conjugados sin efectuar las multiplicaciones. Es decir, por simple inspección.
A) (x + 5)(x - 5) =
B) (2x + 5)(2x – 5) =
C) (5xy – 6)(5xy + 6) =
D) (12 + 9RS)(12 – 9RS) =
E) (3xyv – 4ab)(3xyv + 4ab) =
F) (3ab2c – 4ad2)(3ab2c + 4ad2) =
G) (11axt2v2 + w4)(11axt2v2 – w4) =
H) [(a + 4) – b] [(a + 4) + b] =
I) (y2 – 3y) (y2 + 3y) =
J) (n –1)(n +1) =
K) (1– 8xy)(8xy+1) =
L) (am + bn )(am – bn) =

3. BINOMIO AL CUBO: (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más ó menos el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo mas el triple producto del cuadrado del segundo término por el primero, más o menos el cubo del segundo término.
Instrucciones: Por simple inspección determina el resultado de los binomios al cubo:
Ejemplo 1:
(a2 - 3b)3 = (a2)3 +3(a2)2(-3b)+3(a2)(-3b)2+(-3b)3 = a6 – 9a4b + 27a2b2 – 27b3
Ejemplo 2:
(-x5 - 4)3 = (-x5)3 + 3(-x5)2(-4) + 3(-x5)(-4)2 + (-4)3 = –x15 –12x0 – 48x5 – 64
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 27
Efectúa lo que se te indica:
a) Escribe la regla para elevar al cubo la suma de dos cantidades.
b) Escribe la regla para elevar al cubo la diferencia de dos cantidades.
c) Escribe el nombre del resultado de elevar al cubo la suma o la diferencia de dos cantidades.
d) Desarrolla los siguientes binomios al cubo sin efectuar las multiplicaciones. Es decir, por simple inspección.
A) (a + 2)3 =
B) (x – 1)3 =
C) (4m + 3)3 =
D) (-a3 + b)3 =
E) (2a3+ 5a)3 =
F) (m3 – 5m2)3 =
G) (4m2 + 2n)3 =
H) =
I) (0.5 – a )3 =
J) ( 3x3 + 4xy2)3 =

4. BINOMIOS CON UN TERMINO COMUN: (a + b)( a + x) = a2 + ( b + x )a + bx
Este producto es igual a: el cuadrado del término común, más la suma algebraica de los no comunes por el común más el producto de los no comunes.
Por simple inspección determina el resultado:
Ejemplo 1:
(a + 1)(a + 2) = (a)2+(1+2)a + (1) (2) = a2 + 3a + 2
Ejemplo 2:
(2a+5)(2a-6) = (2a)2+(5-6)(2a)+(5)(-6) = 4a2 – 2a – 30
Ejemplo 3:
(x + a)(x + 2) = x2 + ax + 2x + 2a


ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 28
Efectúa lo que se te indica:
a) Explica a qué se le llaman binomios con un término común.
b) Escribe la regla para multiplicar dos binomios con un término común.
c) Desarrolla los siguientes binomios al cuadrado sin efectuar las multiplicaciones. Es decir, por simple inspección.
A) (x – 3)(x + 6) =
B) (a6+ 7) (a6 – 10) =
C) (ab + 5)(ab – 6) =
D) (a + 2b)(a + 3b) =
E) (x2 – 7m)(x2 –m) =
F) (m2 –15x)(m2 –2x) =
G) (0.5 ab3 – 3x) (0.5 ab3 – 4x) =
H) =
I) (m2 + 4m) (m2 – 2) =
J) (xy + 2a ) ( 2a – 3xy) =

5.- PRODUCTOS DE LA FORMA: (a  b) (a2  ab + b2) = a3  b3
En estos productos tenemos un binomio por un trinomio y éste siempre es igual al cuadrado del primer término del binomio más o menos el producto de ambos más el cuadrado del segundo. El resultado será el cubo del primer término del binomio más o menos el cubo del segundo término.
Ejemplo 1:
(2x – 3y)(4x2 + 6xy + 9y) = 8x3 – 27y3
Ejemplo 2:
(x + 2y)(x2 –2xy + 4y2) = x3 + 8y3

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 29
Efectúa lo que se te indica:
a) Escribe la regla para hallar el producto de la forma: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
b) Escribe la regla para hallar el producto de la forma: (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
c) Escribe el nombre del resultado de los productos de las formas: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 ; y, (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
d) Desarrolla los siguientes productos sin efectuar las multiplicaciones. Es decir, por simple inspección.
A) (x –1)(x2 + x +1) =
B) (5x+2) (25x2 –10x+4) =
C) (2a + b)(4a2 – 2ab + b2) =
D) (a2 –1)(a4 + a2 +1)2 =
E) (x4+ x2y2 + y4)(x2 – y2) =
F) ( a + 2) (a2 – 2a +4) =
G) ( 3 + y ) (9 – 3y + y2 ) =
H) (x2 – y) (x4 + x2y + y2 ) =

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 30
Miscelánea de productos notables. Escribe el nombre del producto notable a que corresponde en el lado izquierdo. En el lado derecho escribe el resultado obtenido por la aplicación de la regla adecuada.
A) (a2 – ab)2 =
B) (a2 + 3)(a2 – 3) =
C) (ax + xy)(ax – xy) =
D) (x2+ x +1)(x2+ x –1)
E) (a – b + c)(a + b – c )
F) (2c2+ d2)3 =
G) (4x – 2)(3x – 2) =
H) (am – 2n2)3 =
I) (x4 + 1)(x2 + 1)(x2 –1) =
J) (A2+ 8)(a2 – 7) =
K) (2a3 – 5b4)2 =
L) (x2y3 – 8)(x2y3 + 5) =
M) (a + b)(a – b)(a2 – b2) =
N) (x2 – 25)(x2 –1) =
O) (a2 –1)(a 2 – 4) =
P) (a2 – b2)(a2 + b2) =
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LOS PRODUCTOS NOTABLES
Ejemplo 1. Calcula el área de un terreno cuadrado cuyo lado mide 5x+3 metros
Área del cuadrado = l 2

(5x+3)(5x+3)= (5x+3)2 = 25x2+ 30x +9 (Binomio al cuadrado)

Ejemplo 2. ¿Cuánto es el área de un terreno rectangular de (3x + 2y) m de largo y (3x - 2y) de ancho?

Área del rectángulo = b h (3x + 2y)(3x - 2y) = (9x2 – 4 y2)m2 (Binomios conjugados)

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 31
Resuelve los siguientes problemas aplicando las reglas de productos notables que le correspondan.
1. Calcular el área del rectángulo de (3x+5) cm de base y (3x-7) cm de altura.
2. Calcular el volumen de un cubo de (5x+3) m de arista.
3. Calcular el área de un triángulo de (3x+2) cm de base y (3x+8) cm de altura.
4. Calcular el volumen de un cubo de (2x+5) cm de arista.

EXPONENTES Y RADICALES

LAS LEYES DE LOS EXPONENTES
1.- Cuando se multiplican potencias que tienen la misma base, los exponentes se suman.
Teorema am  an = am+n
Ejemplos:
x2 (x3) = x2+3 = x5
a5 b2 (ab) = a6 b3
2.- Cuando se dividen potencias de la misma base, los exponentes se restan. Teorema
Ejemplos: x3 x2 = x3-2 = x
a5 b2  ab = a4 b

3.- Toda cantidad elevada al exponente cero su resultado es la unidad.
Teorema a0 = 1
Ejemplos:
x0 = 1
(ab)0 = 1
2b0 = 2(1) = 2

4.- Cuando se tiene un exponente negativo como resultado de la resta de los exponentes se le pone su recíproco para convertirlo en un exponente positivo.
Teorema
Ejemplos:
x2  x3 = x2-3 = x-1 =
a5 b2  (ab4) = a4 b-2 =

5.- Cuando una potencia se eleva a otra potencia, los exponentes se multiplican. Teorema (am)n = amn
Ejemplos:
(x2)3 = x2(3) = x6
(a5b2)4 = a20 b8

6.- Un exponente fraccionario representa una raíz, donde el denominador del exponente es el índice de la raíz, mientras que el numerador es el exponente final. Teorema
Ejemplos:


OPERACIONES CON RADICALES
SIMPLIFICACIÓN
Simplificar un radical significa expresarlo en forma estándar, es decir, cumple con las condiciones siguientes:
a) el radicando es positivo
b) el índice del radical es el menor posible.
c) El exponente de cada factor del radicando es un número natural menor que el índice del radical.
d) No hay fracciones en el radicando
e) No hay radicales en el denominador de ninguna fracción.
Ejemplos:



SUMA Y RESTA
Solamente se pueden sumar o restar los coeficientes de los radicales que sean semejantes, es decir, los que tienen igual índice e igual radicando. Ejemplos:



MULTIPLICACIÓN
Para multiplicar radicales que tienen el mismo índice, se multiplican los signos, los coeficientes y los radicandos. Ejemplos:



DIVISIÓN
Para dividir radicales que tienen el mismo índice, se dividen los signos, los coeficientes y los radicandos. Ejemplos:


ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 20
Contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Qué pasa con los exponentes, cuando se multiplican potencias que tienen la misma base?
b) Cuando una potencia se eleva a otra potencia, ¿Qué pasa con los exponentes?
c) ¿Cuándo ocurre el exponente cero?
d) Si se tiene un exponente negativo ¿Cómo se convierte en exponente positivo?
e) ¿Qué pasa con los exponentes, cuando se dividen potencias que tienen la misma base?

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 21
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las leyes de los exponentes.
a)
b)
c)
d)
e)

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 22
1. Contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el procedimiento para simplificar un radical?
b) Explica de una manera breve la manera en que se efectúa la suma o resta de radicales.
c) Explica de una manera breve la manera en que se efectúa la multiplicación de radicales del mismo índice.
d) Explica de una manera breve la manera en que se efectúa la división de radicales del mismo índice.
e) ¿Qué significa el exponente fraccionario en una cantidad?
2. Simplifica los siguientes radicales:

3. Efectúa correctamente las siguientes operaciones con radicales:

f) De los números y , ¿cuál es el mayor?

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 23
Para pensar:
Lee con calma los siguientes problemas y realiza lo que se te pide.
a) Combina los números dígitos, sin repetir alguno, de tal manera que el resultado sea 100 (haciendo las operaciones básicas).
b) ¿Cómo puedes lograr el número sesenta si se suman tres números iguales, pero que no sean veinte?

DIVISIÓN O COSIENTE DE POLINOMIOS

Operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).
En la división, los exponentes de la misma base se restan.
LEYES DE LOS SIGNOS PARA LA DIVISIÓN:
Cuando se dividen cantidades con signos iguales el resultado tiene signo positivo. Ejemplos:
(a)  (b) =
(– m)  (– m) =
Cuando se dividen cantidades con signos distintos el resultado tiene signo negativo. Ejemplos:
(a)  (–b) =
(– m)  (m) =
PRIMER CASO: División de monomios
Se dividen los signos, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las bases iguales.
Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

SEGUNDO CASO: División de polinomio entre monomio
Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio, separando los cocientes parciales con sus propios signos (ley distributiva de la división).
Ejemplo 1.- Dividir 6a8b8 - 3a6b6 -a2b2 entre 3a2b3
Solución:
Ejemplo 2:


TERCER CASO: división de polinomios
1º. Se divide el 1er. Término del dividendo entre el 1º del divisor y viene siendo el 1er término del cociente:

x + 5 x2 - 20

2°. Se multiplica el cociente por todo el divisor, se le cambia el signo al resultado y se acomoda debajo de su término semejante del dividendo para reducirlos:
x
x + 5 x2 - 20
-x2 - 5x
- 5x - 20
3°. Se baja el siguiente término del dividendo y se vuelve a dividir el 1o. Del residuo entre el 1o. Del divisor y tenemos otro término del cociente.
x - 5
x + 5 x2 -20
-x2 - 5x
- 5x - 20
4°. Se multiplica éste término por todo el divisor, se le cambia el signo y se acomoda debajo del dividendo y se vuelve a repetir el proceso.
x - 5
x + 5 x2 -20
-x2 - 5x
- 5x - 20
+5x + 20
0
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 19
1) Contesta las siguientes preguntas:
a) Escribe de una manera breve el procedimiento para dividir dos monomios.
b) Escribe de una manera breve el procedimiento para dividir un monomio por un polinomio.
c) Escribe de una manera breve el procedimiento para dividir dos polinomios.

2) Realiza correctamente las siguientes divisiones de expresiones algebraicas:
a)
b)
c)
d) 3x2y3 -5a2x4 entre -3x2
e) 4x8 - 10x6 - 5x4 entre 2x3
f) x4 - 5x3 - 10x2 entre -5x
g) 5n2 - 11mn + 6m2 entre m – n
h) x3 - y3 entre x – y
i) a4 - a2 - 2a - 1 entre a2 + a + 1
j) x5 + 12x2 - 5x entre x2 - 2x + 5
k) m5 - 5m4n + 20m2n3 - 16mn4 entre m2 -2mn - 8n2
l) x4 - x2 - 2x - 1 entre x2 - x – 1
m) x6 + 6x3 - 2x5 - 7x2 - 4x + 6 entre x4 - 3x2 + 2

MULTIPLICACION O PRODUCTO DE POLINOMIOS

LEYES DE LOS SIGNOS PARA LA MULTIPLICACIÓN:
Cuando se multiplican cantidades con signos iguales el resultado tiene signo positivo. Ejemplos:
i) (b) = ab
ii) (– m) (– m) = m2
Cuando se multiplican cantidades con signos distintos el resultado tiene signo negativo. Ejemplos:
i) (a) (–b) = – ab
ii) (– m) (m) = – m2

SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN.
Cuando en la expresión algebraica se tengan cantidades antes de los signos de agrupación: “( ), [ ], { }”; significan que para eliminarlos es necesario multiplicar. Esto significa que dichos símbolos son signos de multiplicación. Ejemplos:
4(– m) (– m) = 4m2
– 2 (– m) (m) = 2 m2
En la multiplicación se presentan los siguientes casos:
PRIMER. CASO: Multiplicación de monomios
Se multiplican los signos, se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las bases iguales.
EJEMPLOS:
i. (2x2y) ( 2x3) = 4x6y
ii. (– 4xy4z2) ( x2y) = – x3y5z2)
SEGUNDO CASO: Multiplicación de un polinomio por un monomio.
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, de acuerdo a la ley distributiva.
EJEMPLOS:
Multiplicar a3 x- 4a2 x2 + 5ax3 - x4 por -2a2 x

Solución: a3 x - 4a2 x2 + 5ax3 - x4
-2a2x
------------------------
-2a5x2 + 8a4 x3 - 10a3 x4 + 2a2 x5

TERCER CASO: multiplicación de dos polinomios
Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, y se reducen los términos semejantes.
EJEMPLOS:
i) Multiplicar: a2 + b2 - 2ab por a-b
Solución: a2 - 2ab + b2
a - b
a3 – 2a2 b + ab2
– a2 b + 2ab2 – b3
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

ii) Multiplicar: –3m2 + m4 por 3m3 – 2m + 1
Solución: m4 – 3m2 + 4
3m3 – 2m + 1
3m7 – 9m5 +12m3
– 2m5 + 6m3 – 8m
m4 – 3m2 +4
3m7 – 11m5 + m4 + 18m3 – 3m2 – 8m +4

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 17
1) Contesta las siguientes preguntas:
a) Escribe de una manera breve el procedimiento para multiplicar dos monomios.
b) Escribe de una manera breve el procedimiento para multiplicar un monomio por un polinomio.
c) Escribe de una manera breve el procedimiento para multiplicar dos polinomios.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 18
Realiza las siguientes multiplicaciones algebraicas, teniendo en cuenta las leyes de los signos y de los exponentes:
a) (2x2) (–4xy2) =
b) (– ab2 ) ( – 3ac) =
c)
d) x3 + 2x2 – x por x2 – 2x + 5
e) x2 – 2xy + y2 por xy – x2 + 3y2
f) 6m – 5n por –n + m
g) a2 + b2 –2ab por a – b
h) 3a2 – 5ab +2b2 por 4a – 5b
i) x4 – x3 + x2 por x3 – 2x2 + 6

SUMA O ADICCION

SUMA O ADICIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
LEYES DE LOS SIGNOS PARA LA SUMA:
i. Cuando se suman términos semejantes con el mismo signo, los coeficientes se suman y mantienen el mismo signo. Es decir:
(+) + (+) = +
(–) + (–) = –
ii. Cuando se suman términos semejantes con signos diferentes, los coeficientes se restan y se le pone el signo de la cantidad de mayor valor absoluto. Es decir,
(–) + (+) = El signo del número mayor
(+) + (–) = El signo del número mayor

SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN.
En la suma de dos o más cantidades no cambia de valor si se suprimen los símbolos de agrupación: “( ), [ ],
{ }”; ejemplos:
(+ a) + (+ b) + (+ c) = a + b + c
(- a) + (- b) + (- c) = - a - b - c
(a) + (+ b) + (- c) = a + b - c
(a + b) + (c + d) = a + b + c + d
(-a -b) + (-c -d) = - a – b – c – d
(a –b) + (c – d)= a – b + c – d
Para sumar o restar términos algebraicos deben ser términos semejantes, es decir, que tengan las mismas literales afectadas por los mismos exponentes. También se puede decir, que es una reducción de términos semejantes.
Se pueden presentar los siguientes casos:
PRIMER CASO: Suma de monomios
De acuerdo a las leyes de los signos, se tiene que:
EJEMPLOS
i. (3a2b) + (5a2b) + (2a2b) = (3+5+2)a2b = 10a2b
ii. (-a3b2) + (-7a3b2) + (-3a3b2)= – 11a3b2
iii. (7a3b2) + (-13a3b2)= (13-7)a3b2 =-6a3b2
iv.
v.
vi. (-8a3bc3) + (15a3bc3) = (15-8)a3bc3 =7a3bc3
vii. { [(-3a2b) + (5a2b) + (7a2b) ] + (-2a2b) } =
{ [-3a2b + 5a2b + 7a2b] – 2a2b } =
{ –3a2b + 5a2b + 7a2b – 2a2b } =
(5+7)a2b + (– 3 –2)a2b =12a2b – 5a2b = 7a2b
viii. En el caso ya citado de los animales la respuesta es: 40v + 3t + 60b + 250g

SEGUNDO CASO: Suma de polinomios
Para sumar polinomios. Se colocan los términos semejantes unos debajo de otros; y, se hace la reducción de los términos semejantes, teniendo en cuenta las leyes de los signos.
EJEMPLOS: Realiza las siguientes sumas de polinomios.
i. (6a2b2 + 3ab -5) + (a2b2 - 5ab - 2) + (-5a2b2 - 4ab)
Primer sumando 6a2b2 + 3ab –5
Segundo sumando a2b2 – 5ab –2
Tercer sumando –5a2b2 – 4ab
Al reducir se tiene 2a2b2 – 6ab – 7

ii. (a3+4) + (a2 + 5a +1) + (3a3 + a3 –3a)

Primer sumando a3 +4
Segundo sumando a2 + 5a +1
Tercer sumando 3a3 + a2 – 3a
Al reducir se tiene 4a3 + 2a2 + 2a + 5

NOTAS.
 Para sumar términos semejantes basta sumar los coeficientes y escribir a continuación la literal o literales
 Para sumar términos que no son semejantes se deja indicada la operación.
 Para sumar términos semejantes con otros que no lo son se suman los términos semejantes y los demás se escriben a continuación
 En álgebra se emplean los mismos signos que en aritmética, y con el mismo significado
 Cuando una cantidad no tiene escrito su signo se toma como positiva.

RESTA O SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
La resta o sustracción es la operación contraria de la suma. Restar una cantidad (sustraendo) de otra (minuendo), es hallar una tercera cantidad llamada diferencia, que añadido al sustraendo reproduzca el minuendo.
En la resta, se pueden suprimir los símbolos de agrupación: “( ), [ ], { }”; teniendo el cuidado de cambiar el signo de todos los términos que se encuentren dentro de ellos. Ejemplos:
– (a + b) = – a – b
– (– m + n) = m – n
Al igual que la suma, se eliminan los signos de agrupación y posteriormente se suman o restan los términos semejantes.
Ejemplos: resta de monomios
i. (8a) – (3a) = 8a – 3a = 5a
ii. 7ab - 4ab = (7-4)ab = 3ab
iii. 5abc - 3abc = (5-3)abc = 2abc
iv. 3ab – 3bc = 3ab – 3bc No hay reducción porque no son términos semejantes.
Para restar un polinomio de otro. Se restan los términos semejantes. Se deja indicada la resta de los términos desemejantes
EJEMPLOS
i. (2a + 3b + 4c) - (a + 2b + c) = (2a - a) + (3b - 2b) + (4c -c) = a+b+3c
ii. (3a2 + 4b) - (3a + b) = 3a2 _+ (4b - b) - 3a = 3a2 3b - 3a
Se ordena la respuesta 3a2 - 3a + 3b
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 9
Contesta las siguientes preguntas:
a) ¿A qué se le llama suma algebraica?
b) ¿Cuáles son los signos de agrupación más comunes en matemáticas?
c) Explica la manera en que se van eliminando los signos de agrupación que se presentan en las operaciones.
d) ¿Cuáles son los términos que se pueden sumar?
e) ¿Cuál es el procedimiento para efectuar la suma de monomios?
f) ¿Cuál es el procedimiento para efectuar la suma de polinomios?
g) ¿Cuál es el procedimiento para efectuar la resta de polinomios?
h) Escribe las leyes de los signos para la suma algebraica.
i) Escribe las leyes de los signos para la resta algebraica.
j) Escribe el signo resultante, si:
 Se suman dos cantidades positivas: __________________________________
 Se restar dos cantidades negativas: __________________________________
 A una cantidad positiva se le resta una negativa: _______________________
 A una cantidad positiva se le resta una positiva: _________________________
 A una cantidad negativa se le suma una negativa: _______________________
 Se suman dos cantidades negativas: __________________________________
 A una cantidad negativa se le resta una positiva: _________________________

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 10
Suprime los paréntesis en las expresiones algebraicas siguientes
a) (2a + b) + (3c + d) =
b) (5a + 2b) + (3a - 2b) =
c) (7a + 3b) + (-2a - 2b) =
d) (5a + 5b) + (- 2a - 2b) =
e) (7a + 8b) + (- 2a + 3b) =
f) (9a + 5b) – (5a - 15b) =
g) (7a + 2b) – (- 5a - 3b) =
h) (9a + 2b) – (- 3a + 5b) =
i) (- 3a + 8b) – (7a - 2b) =
j) (- 5a + 8b) + (- 3a - 10b) =


ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 11
Efectúa correctamente las siguientes operaciones, eliminando los paréntesis correspondientes.
a) 3a + 2a
b) 5a + (-3a)
c) (-9a2b2) + 3a2b2
d) (-11a3b) + 7a3b
e) 31a2b + (-47a2b)
f) 3a + 2a + 7a
g) (-3a) + (-7a) + (-5a)
h)
i)
j)
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 12
Realiza las siguientes sumas de polinomios, siguiendo el procedimiento adecuado.
a) (xy – 5y + 6) + (3y – 2xy – 3) + (3 - xy – 2y) =
b) (8xy – 2yz) + (2xy – z + 6yz) + (9yz – 7yx – 3z) =
c) (3a – b +9c) + (2a + 3b – 5c) – [(3a + 14b – 2c) + (a – 2b + c)] =
d) (m2 + n2) + (-3mn +4n2) + (-5m2 –5n2) =
e) (x2 + x –9) + (3x4 –7x2 +6 ) + ( -3x3 –4x –5) =
f) (3x –x3) + (-4x2 +5) =
g) (x2 –3xy +y2) + (-2x2 +3xy –x2) + (x2 +3xy –y2) =
h) (a3 –4a +5) + ( a3 –2a2 +6) + ( a2 –7a +4) =
i) (-7x2 +5x –6) +(8x –9 +4x2) + (-7x +14 –x2) =

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 13
Resuelve los problemas siguientes haciendo los planteamientos algebraicos adecuados.
a) ¿Cuántos metros de tela hay en tres piezas si una tiene 5a metros, otra 2a y 3a la tercera ?
b) Calcula el beneficio de un comerciante que ganó $ a el lunes, $ 5a el sábado y $ 7a en el resto de la semana
c) Calcula la medida del ángulo formado por la suma de los ángulos a, 3a y b
d) Calcula el perímetro de un hexágono regular cuyos lados miden 3b metros cada uno.
e) ¿Cuál es el área total de un cubo que tiene x M2 en cada una de sus caras?


ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 14
Efectúa las siguientes restas de polinomios eliminando los signos de agrupación.
a) (x3 – x2 + 6) – (5x2 – 4x + 6) =
b) (y5 – 9y3 + 6y2 – 31) – (–11y4 + 31y3 – 8y2 – 19y) =
c) (x2 + y2 – 3xy) – ( – y2 + 3x2 – 4xy) =
d) (5m3 – 9n3 + 6m2n – 8mn2) – (14mn2 – 21m2n + 5m3 – 18) =
e) (– a5b + 6a3 b3 – 18ab5 + 42) – (– 8a6 + 9b6 – 11a4 b2 – 11a2 b4) =
f) Restar 2y4 – 3y2 + 6y, de y2 + 6y3 – 8
g) Restar 7a2 b + 9ab2 , de a3 – a2 b
h) Restar m2 – n2 – 3mn, de – 5m2 – n2 + 6mn
i) De x2 – 5x, restar – x2 + 6
j) De a3 – 6, restar 5a2 b – 8a3 + b3

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 15
Resuelve correctamente los problemas siguientes haciendo los planteamientos algebraicos necesarios.
a) Un ciclista tiene que recorrer 625 Km. Ha recorrido 169 Km. el primer día, b Km. el segundo y 2b Km. el tercero ¿Cuánto le falta para llegar a la meta?
b) Para el arreglo de una casa, que cuesta $ 3 500, se cuenta con el importe de dos meses de sueldo del padre y uno del hijo ¿Qué cantidad falta para llegar a los 3 500 pesos si el padre gana 2x pesos mensuales y el hijo x pesos mensuales?
c) Un comerciante tenía 500 sacos de harina y vendió 3 partidas, la primera de 75 sacos, la segunda de a sacos y la tercera de 4a sacos ¿Cuántos sacos le quedan ?
d) Salí a comprar mis libros de texto con un billete de $500, el de álgebra me costó $ 155, el de biología x pesos, el de inglés 2x pesos, el de civismo 3x pesos, y en transporte gasté 2 pesos ¿Cuánto me quedó?
e) En un expendio de gasolina había al principio del día xy litros. Se vendieron m litros. Después se añadieron b litros ¿Cuántos litros hay ahora en el depósito?

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 16
Para pensar:
Lee con calma los siguientes problemas y contesta lo que se te pide.
El árbol genealógico.
a) En la familia del Sr. Pino, las relaciones de parentesco son un poco complicadas: Román y Miguel son hijos de Lucas; José solo tiene dos hijos; Lucas no es el padre de Claudio; José es el abuelo de Claudio; Lucas es hijo de José. ¿Cómo se llama el padre de Claudio?
Los excursionistas.
b) Ocho excursionistas quieren cruzar un río. No hay puente; solo dos niños que juegan en un bote, tan pequeño que solo puede soportar a un adulto o a los dos niños juntos. Un niño y un adulto lo harían hundirse. ¿Cómo le harán los excursionistas para que crucen todos juntos?

LENGUAJE ALGEBRAICO

UNIDAD I
LENGUAJE ALGEBRAICO
1.1 EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Para muchas personas, las matemáticas representan un estudio bastante pesado, estéril y desabrido. Esto se debe mayormente a la formación que hayan tenido en la escuela, con particularidad en la primaria. Hay muchos que creen que el estudio de los números es para los hombres solamente, sin darse cuenta que las matemáticas desempeñan un papel importantísimo en la vida de la mujer. En muchos casos, las mujeres son las que controlan las finanzas, hacen los presupuestos y manejan los centavos. La teoría de los números se remonta a la antigüedad. Algunos piensan que de la India vinieron los antecesores de los signos numéricos que usamos hoy. Los árabes adoptaron el sistema numérico de la India y lo trajeron a Europa durante la Edad Media. Probablemente fueron los egipcios los primeros en usar la geometría, vocablo griego que significa medir la tierra. Fueron ellos los que descubrieron cómo sacar el área de un rectángulo y de un triángulo, etc. También trabajaron con círculos, cosa que ya sabían los babilonios. Sin embargo fue Euclides, matemático griego, quien acondicionó la geometría en un sistema de reglas con teoremas y pruebas. El álgebra, o la taquigrafía de las matemáticas, fue desarrollada por los árabes. Este estudio hace simplificarlas cosas en una forma razonada y consciente.
Por ejemplo, si alguien no quiere escribir que la velocidad es igual al espacio dividido por el tiempo gastado, simplemente se manifiestan de esta manera:
Las matemáticas desempeñan un papel importantísimo en el mundo moderno de los cosmonautas y el espacio. Hoy en día estamos de acuerdo con los griegos de la antigüedad, quienes afirmaban que las matemáticas eran útiles en arquitectura, astronomía, navegación y muchas otras materias. Las matemáticas no solamente son vitales en los problemas de este mundo moderno, tanto en el intelectual como en el científico, sino que también ayudan a resolver problemas de carácter social. Estos nuevos métodos de enseñanza, explicados razonadamente, servirán de mucha ayuda a los estudiantes capacitados y aun a aquellos que todavía sientan aversión a los números. En la vida diaria es frecuente el uso de símbolos para simplificar anotaciones y facilitar las operaciones, como el signo $ que significa pesos, el símbolo  que significa que nos aproximamos a una curva , el símbolo  que significa grados, y otros que vemos en cada momento; pero los mas usados son simples abreviaturas en las que la primera letra de una palabra reemplaza a toda la palabra, por ejemplo: m (metro), l (litros), r (radio), c.p. (código postal), ha. (Hectárea), p.m. (pasado meridiano) y varios más que son de uso común. De la misma manera que para poder pensar y decir cada vez más cosas, tuvimos que ir ampliando nuestros sistemas de números desde los enteros positivos, los naturales, hasta todos los números reales, ahora, para seguir progresando necesitamos poder hablar en forma todavía más general. Necesitamos referirnos, por ejemplo, a propiedades que tienen todos los números, sin necesidad de hablar de ninguno en particular, y necesitamos hacer esto con mucha concisión y brevedad. Decir, por ejemplo: si a y b representan a cualquier número real, a*b = b*a. Es una forma concisa y general de establecer que la multiplicación es conmutativa (el orden de los factores no altera el producto). Más aún, a veces necesitamos hablar de cosas que desconocemos, o que cambian. Para eso necesitamos también símbolos que representen esas cosas, a las que por el momento no podemos o no queremos darles un valor numérico concreto. Las letras pueden representar un número cualquiera, ya sea entero o fraccionario. Las matemáticas emplean numerosas reglas que se simplifican usando letras iniciales, las más usuales son las fórmulas, las cuales sirven para resolver problemas al ser sustituidas las letras por los números adecuados. Convencionalmente las primeras letras del alfabeto indican valores conocidos y se les denominan literales, mientras que las últimas, sobre todo x, y, z; los desconocidos también llamados incógnitas. El uso de las fórmulas de gran generalidad a los problemas, y de esto se ocupa una rama de las matemáticas llamada ALGEBRA, cuya definición es “parte de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos para la resolución de problemas y el cálculo numérico (Baldor, A., Álgebra).
Aunque tú ya sabes de álgebra, puesto que lo estudiaste en la secundaria, algunas cosas tal vez las has olvidado o las has dejado de practicar, y algunas otras las vas a ver de nuevo, pues no sólo se pretende repasar tus conocimientos, sino aumentarlos. Por ello te ayudará empezar éste estudio teniendo en cuenta que existen cosas que quedan más concisas y claras si usamos el lenguaje del álgebra. Iremos mezclando aritmética y álgebra, hasta que te sientas habituado a este nuevo lenguaje. Si usar letras es utilizar el álgebra entonces también podemos traducir de nuestro lenguaje común al lenguaje algebraico, es decir, representar mediante símbolos algún texto, o alguna situación problemática; o haciendo lo contrario, es decir, traducir del lenguaje algebraico a nuestro lenguaje común.
Por ejemplo:
Expresa algebraicamente los siguientes textos:
a) El doble de un número más uno.
El número lo podemos representar con cualquier letra, en este caso utilizaremos x, entonces el doble del número es 2x y si le sumamos el uno, quedaría: 2x+1
b) El precio de una bicicleta, de dos bicicletas, de cinco bicicletas.
El precio de una bicicleta lo representamos con la letra: b
El de dos bicicletas: el precio de una por dos, es decir: 2b
El de cinco bicicletas: el precio de una por cinco, es decir: 5b
c) El área de un cuadrado.
Se obtiene multiplicando lado por lado: A=l x l = l2
Si nos piden calcular el área de un cuadrado. Halla el área de una hectárea. Sabemos que una Ha. Tiene 100M. Por lado, usamos las fórmulas A=l2 .. . A=100MX 100M=10,000M2
d) El peso de 8 sacos de maíz
Si un saco de maíz pesa x kilos, 8 sacos, serán 8 veces x que es igual a: 8x
e) Un gavilán vio a un grupo de palomas volando y les dijo “adiós cien palomas” a lo que una de ellas le contestó, no somos cien, pero, nosotras más nosotras más la mitad de nosotras juntas y usted sumaremos cien.
Si representamos con la x al grupo de palomas volando. Entonces:
f) El producto de tres números cualesquiera.
Si a es un número, b es otro número, y c es el tercer número. Entonces el producto (resultado de una multiplicación) queda: (a) (b) (c)
Cabe aclarar que los paréntesis son símbolos de multiplicación.
g) En la granja “La Paloma” tienen un total de 3200 aves de las cuales hay 750 gallinas más que de gallos. Por otra parte, el número de pollos es cinco veces el de gallos. ¿Cuántos pollos, gallos, y gallinas tienen en una granja?
Si tomamos como referencia al número de gallos y lo representamos con x; entonces:
Gallos = x
Gallinas = x + 750
Pollos = 5x
Si sumamos todas las aves, tendríamos el total de 3200. Por lo tanto el texto quedaría representado algebraicamente:
h) Traduce las siguientes expresiones algebraicas al lenguaje común:
 : “la mitad de la suma de dos cantidades”
 m2 – n2 : “la diferencia de dos cuadrados”
 (m – n) 2: “la diferencia de dos cantidades elevada al cuadrado”

EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es la representación de cantidades por medio de números y letras relacionadas por una o más operaciones. Las expresiones algebraicas pueden estar formadas por uno o varios términos.
Por ejemplo:

3a2 - 2c
6x + 8y + 3z
De acuerdo al número de términos que tiene una expresión algebraica, se pueden clasificar de la siguiente manera:
o La expresión algebraica que tiene un solo término se le llama monomio. Por ejemplo: x, 3a2b5, – 4a, etc.
o La expresión algebraica que tiene dos o más términos es polinomio. Por ejemplo: ; 3bx + b2x + bx2; 40v + 3t + 60b + 250g; etc.
 Si el polinomio tiene dos términos es binomio: ; 3m – 5t; etc.
 Si el polinomio tiene tres términos es trinomio: 3bx + b2x + bx2; 40v + 3t + 60b + 250g; etc.
Nota: cuando el polinomio tiene cuatro o más términos es cuando generalmente se usa el concepto de polinomio.

El término algebraico es cada una de las partes separadas por un signo de suma o de resta en una expresión algebraica y tiene cuatro elementos: Signo, Coeficiente, Literal y exponente.
El signo puede ser positivo o negativo.; cuando el signo es positivo y se encuentra al principio suele omitirse.
El coeficiente es el número o letra que indica el número de veces en que se toma como sumando la parte literal. Por ejemplo:
 En el término 5a el 5 indica que se han tomado 5 veces la a como sumandos.
5a = a + a + a + a + a 5 es el coeficiente
 En el término 3a2b el 3 indica que se han tomado 3 veces a2b como sumando.
3a2 b = a2b + a2b + a 2b 3 es el coeficiente
 En el término nb el coeficiente n indica que se tomaron n veces la b como sumando.
nb = + b + b + b + b +... hasta n sumandos iguales a b
La parte literal son las letras que contiene el término.
El exponente o grado es el número o letra que se coloca en la parte superior derecha de una cantidad para indicar el número de veces que dicha cantidad se ha tomado como factor. Puede ser de dos tipos: absoluto o relativo; el primero es la suma de los exponentes de sus literales, mientras que el segundo es con relación a una letra. Por ejemplo:
El área del cuadrado de lado l es: A = l x l. Se escribe A= l2
El volumen del cubo de arista a es V = a x a x a. Se escribe V = a3
En las expresiones anteriores el 2 y el 3 son exponentes
El exponente 4 en a4 indica que se han tomado cuatro factores iguales a: a
a4 = a x a x a x a
El exponente n en an indica que se han tomado n factores iguales a a
an =a x a x a x a x a x... (n factores iguales a a)
Por otro lado;
3a2b5 grado absoluto es 7° grado relativo: a es 2°, y b es 5°
CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICOS DE ACUERDO AL NÚMERO DE TÉRMINOS
Monomio (1 término) Binomio (2 términos) Trinomio (3 términos)
Según el número de términos que posee una expresión algebraica se denomina MONOMIO, BINOMIO, TRINOMIO Y MULTINOMIO. 5x
xyz3


2x + 3y
a2 – 2b2
+ 5
8 + y 3x + 5y – 7
a + b – c
+ 2x – 5
27 + x – y
IMPORTANTE: Los términos se separan por los signos + y/o –

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 1
Realiza lo que se te indica.
a) Explica de una manera breve lo que es el Álgebra.
b) Explica la importancia del Álgebra.
c) Explica que es una expresión algebraica.
d) Escribe cinco expresiones algebraicas.
e) Define que es un término algebraico.
f) Explica cuáles son los elementos de un término algebraico.
g) Define qué es un monomio.
h) Escribe tres monomios.
i) Define lo que es un polinomio.
j) Escribe tres polinomios
k) Define lo que es un binomio.
l) Escribe tres binomios.
m) Define lo que es un trinomio
n) Escribe tres trinomios.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 2
La capacidad de simbolización del sujeto le sirve para representar expresiones del lenguaje cotidiano por medio de signos convencionales. Esta capacidad implica la facultad para traducir dichas expresiones al lenguaje simbólico y viceversa. Resulta de importancia capital cuando se trata de resolver problemas, pues permite al estudiante plantear modelos simbólicos de situaciones reales. El planteo de ecuaciones para resolver problemas, es un ejemplo muy significativo.
Para desarrollar tu capacidad de simbolización efectúa lo que se te indica:
a) Descifra el mensaje: Actuando como detectives, te pedimos descifrar el siguiente mensaje en clave:




Pista:
Se sabe que en el mensaje las letras que se repiten con más frecuencia son A, E, y D, en ese orden; aparece la P; le siguen también en ese orden de frecuencia C e I. Cabe señalar que la palabra MATEMÁTICA, debe aparecer al final del mensaje.

b) Continúa como detective en este otro mensaje.





Pista: la quinta palabra es ciencia y la novena es mundo.

c) Sumas piramidales
Procedimiento: En cada uno de los juegos, las letras A, B, C, D, E, F, G y H tienen valores de 0 a 4 y las figuras de 5 a 9. En cada diagrama, cada número es igual a la suma de dos números de la línea superior. Las decenas han sido ignoradas de modo que, por ejemplo, 6 + 7 = 13 aparecerá como 3 es por eso que ninguno de los resultados es mayor que 9. Descubra a que número corresponde cada letra y cada figura teniendo en cuenta que cada juego tiene su propia clave. Para anotar lo que vayas descubriendo, utilice el cuadro de equivalencias de cada juego