lunes, 5 de julio de 2010

FACTORIZACION

La factorización es importante en matemáticas, porque se puede usar para reducir el estudio de una expresión complicada, al de varias expresiones más simples.
La factorización es el proceso de expresar una suma de términos en forma de producto. Por ejemplo, como:
x2 – 9 = (x + 3) (x – 3); esto significa que, los polinomios x + 3, y, x – 3, son factores de x2 – 9.
Cada uno de los números que se multiplican entre sí para obtener un producto, se llama factor.
Se dice que un polinomio está factorizado completamente si se expresa como el producto de polinomios con coeficientes enteros y ninguno de los factores de la expresión se puede escribir como el producto de dos polinomios con coeficientes enteros. Es decir, factorizar un polinomio quiere decir expresarlo en forma de producto de polinomios irreducibles.
Se ha hablado de algunos productos que se pueden obtener sin plantear la operación, o sea de los productos notables, conociendo estos, una vez obtenido el producto es fácil regresar a los factores, esta operación invertida se llama factorización.
Al igual que los productos notables, se presentan los siguientes casos, los cuales nos pueden servir como fórmulas.
A) Factor común:
a) Monomio: a2 + ab = a ( a + b )
b) Polinomio: a ( a + b ) - c ( a + b ) = ( a + b ) ( a - c )
c) Por agrupación de términos: 2ax - 5a + 2bx - 5b = ( 2x - 5 ) ( a + b )
B) Diferencia de cuadrados: a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )
C) Suma y diferencia de cubos: a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 - ab + b2 )
a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2 )
D) Trinomios
a) Trinomio cuadrado perfecto: a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2
a2 -2ab + b2 = ( a - b )2
b) Trinomio No cuadrado perfecto, ó de la forma: x2 + bx + c:
a2 + 3ab + 2b2 = ( a + 2b ) ( a + b )
c) Trinomio Caso Especial, ó de la forma :x2 + bx + c:
2a2 + 5a + 3 = ( 2a + 3 ) ( a + 1 )
E) Polinomio Cubo perfecto: a3 + 3a2 + 3a + 1 = ( a + 1 )3
a3 – 3a2 + 3a - 1 = ( a - 1 )3
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 32
Contesta de manera breve las siguientes preguntas.
a) ¿A qué se le llama factorización?
b) ¿Cuáles son los casos más comunes de factorización?
c) Explica de una manera breve la manera en que se factoriza una expresión algebraica por el método de factor común monomio.
d) Explica de una manera breve la manera en que se factoriza una expresión algebraica por el método de factor común polinomio.
e) Explica de una manera breve la manera en que se factoriza una expresión algebraica por el método de factor común por agrupación de términos.

A) Factor común:
Llamaremos factor común, al factor que aparece en todos los términos de un polinomio, y pueden ser:
a) Monomio.- El factor común no es más que la propiedad distributiva, aplicando la simétrica de la igualdad.
Para factorizar de esta manera, se siguen los siguientes pasos:
 Se halla el M. C. D. de todos los coeficientes de lo términos dados (se factorizan y se toman los factores comunes).
 Las literales comunes se toman con su menor exponente.
 La factorización se escribe: “el factor común seguido de un paréntesis en donde aparecen los cocientes de dividir cada término de la expresión que se esté factorizando, entre el factor común”
EJEMPLOS:
A) Factoriza: 2x2y + 4x2y2
Solución: M.C.D. = 2xy
2x2y + 4x2y2 = 2x2 y ( x + 2y )
B) Factoriza: 24a3b3 - 18a4b6 + 48a5b5
24 2 18 2 48 2
12 2 9 3 24 2
6 2 3 3 12 2
3 3 1 6 2
1 3 3
1 Los factores comunes son: 2 y 3, por lo tanto, al multiplicarlos es 6
Las literales se toman con su exponente más pequeño, es decir, son: a3 , b3 por lo tanto,
M.C.D. = 6a3b3
Siguiendo las indicaciones, para la factorización se escribe el M.C.D., o factor común, luego se abre un paréntesis donde se anota el resultado de dividir cada término del polinomio dado entre el factor común.
Solución: 24a3b3 - 18a4b6 + 48a5b5 = 6a3b3 (4 - 3ab3 + 8a2b2)

b) Polinomio.- Se siguen los mismos pasos, solamente que el factor común en este caso es un paréntesis, es decir, un polinomio.
EJEMPLOS:
A) Factoriza: x ( a + 1 ) - y ( a + 1 )
El factor común es el polinomio: ( a + 1 )
Se escribe el factor común, luego se abre un paréntesis donde se anota el resultado de dividir cada término del polinomio dado entre el factor común.
Solución: x ( a + 1 ) - y ( a + 1 ) = ( a + 1 ) ( x - y )

B) Factoriza: 2x ( y - 1 ) - ( y - 1 ) ( 3x - 4 )
Factor común =( y - 1 )
Solución: 2x ( y - 1 ) - ( y - 1 ) ( 3x - 4 ) = ( y - 1 ) ( 2x - 3x - 4) = ( y - 1 ) ( - x + 4 ) = ( y - 1 ) ( 4 - x)

c) Por agrupación de términos.- En este caso, se trata de formar grupos de igual número de términos, de tal manera que tengan el mismo factor común (primero monomio y luego polinomio).
EJEMPLOS:
A) factoriza: 2a2 - 3a + 2ax - 3x
Solución: 1º agrupamos los términos que tengan factor común: ( 2a2 + 2ax ) - ( 3a - 3x )
2º factorizamos cada grupo (factor común monomio): ( 2a2 + 2ax ) = 2a ( a - x )
( 3a - 3x ) = 3 ( a - x )
2a2 - 3a + 2ax - 3x = ( 2a2 + 2ax ) - ( 3a - 3x )
3º factorizamos (factor común polinomio) = 2a ( a - x ) - 3 ( a - x )
2a2 - 3a + 2ax - 3x = ( a - x ) ( 2a - 3 )
B) factoriza: a2x + a2 - b2x - b2
Solución: (a2x - b2x) + (a2 - b2) = x (a2 - b2) + (a2 - b2)
a2x + a2 - b2x - b2 = (a2 - b2) ( x + 1 )

C) factoriza: 3x3 - 9 ax2 - x + 3a
Solución: 3x3 - 9 ax2 - x + 3a = (3x3 - 9 ax2 ) - ( x - 3a )
= 3x2 ( x - 3a ) - ( x - 3a )
3x3 - 9 ax2 - x + 3a = ( x - 3a ) ( 3x2 - 1 )
NOTA.- Al agrupar los términos en los paréntesis, entre ambos debe haber un signos que puede ser postivo o negativo. Será negativo cuando sea necesario algún cambio de signos en los términos del segundo paréntesis. Así en el ejemplo B aparece el signo negativo porque ( - x + 3a ) se cambió a ( x - 3a ).


ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 33
1. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando el método de factor común monomio.
a) 12xy - 30xz =
b) 9x2y + 21x =
c) 4u2v2 - 12uv2 =
d) 7ab - 14ac + 21ad =
e) 12abc2 - 4bc + 6ab2c =
f) 5axy4 - 6ax4y + 7a2xy =
g) 13 - 26hk - 39uv =
h) x2y - x4y2 + ax6y6 =
i) 15ap2 - 30a2p2 + 5p4 =
j) 3a2x3y + 4a5x2y3 - 6a4x6 - 10ax4 =
k) 3m6p4q2 - 9m5p2qx + 3m7p3qx + 3m4p2q - 6m5p4qx2y =

2. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando el método de factor común polinomio.
a) 2x(y –1) – (y –1) =
b) 2a (x +3) + (x +3) (3 a + 5) =
c) 3a (x +y) –5 (x +y) =
d) (a +3) (a –1) – (a –1) (a – 8) =
e) (x – 5) (x +3) – (x +3) (2x – 8) =

3. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando el método de factor común por agrupación de términos.
a) 2ax + 2bx + 5a - ay - by + 5b =
b) a2y + ab2 - axy - b2x =
c) 10am2xz – 15bm2xz + 10ax - 15bx - 8am2yz + 12bm2yz - 8ay + 12by =
d) ac + ad + bc bd =
e) 18 a3 +12 a2 –15 a – 10 =
B) Diferencia de cuadrados.
Las características de una diferencia de cuadrados son:
 Dos términos separados por el signo menos.
 Los coeficientes deben tener raíz cuadrada exacta.
 Los exponentes de las literales deberán ser pares.
El procedimiento que se sigue para su factorización es:
“Se escriben dos paréntesis, los cuales serán dos binomios conjugados (una suma y una diferencia), cuyos términos son las raíces cuadradas de la expresión que se desea factorizar”.
EJEMPLOS:
A) factoriza: 4x2 - 9y4 =


Solución: 4x2 - 9y4 = ( 2x + 3y2 ) ( 2x - 3y2 )
B) factoriza: a2 - 16x6 =


Solución: a2 - 16x6 = ( + 4x3 ) ( - 4x3 )


ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 34
Efectúa lo que se te indica:
a) Escribe las características de una diferencia de cuadrados.
b) Escribe la manera en que se factoriza una diferencia de cuadrados.
c) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando el método de diferencia de cuadrados.
A) 144m6 - 121x8y4 =
B) -n2/4 + a4b6/9 =
C) x2y2 - (x2 + y2)2 =
D) (x - y)2 - a2 =
E) 3z4m2 - 2y6 =
F) x2y2 - 9z2 =
G) 4a2b2c2d2 – 16 =
H) 4a2 - 9w2 =

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