LENGUAJE ALGEBRAICO

UNIDAD I
LENGUAJE ALGEBRAICO
1.1 EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Para muchas personas, las matemáticas representan un estudio bastante pesado, estéril y desabrido. Esto se debe mayormente a la formación que hayan tenido en la escuela, con particularidad en la primaria. Hay muchos que creen que el estudio de los números es para los hombres solamente, sin darse cuenta que las matemáticas desempeñan un papel importantísimo en la vida de la mujer. En muchos casos, las mujeres son las que controlan las finanzas, hacen los presupuestos y manejan los centavos. La teoría de los números se remonta a la antigüedad. Algunos piensan que de la India vinieron los antecesores de los signos numéricos que usamos hoy. Los árabes adoptaron el sistema numérico de la India y lo trajeron a Europa durante la Edad Media. Probablemente fueron los egipcios los primeros en usar la geometría, vocablo griego que significa medir la tierra. Fueron ellos los que descubrieron cómo sacar el área de un rectángulo y de un triángulo, etc. También trabajaron con círculos, cosa que ya sabían los babilonios. Sin embargo fue Euclides, matemático griego, quien acondicionó la geometría en un sistema de reglas con teoremas y pruebas. El álgebra, o la taquigrafía de las matemáticas, fue desarrollada por los árabes. Este estudio hace simplificarlas cosas en una forma razonada y consciente.
Por ejemplo, si alguien no quiere escribir que la velocidad es igual al espacio dividido por el tiempo gastado, simplemente se manifiestan de esta manera:
Las matemáticas desempeñan un papel importantísimo en el mundo moderno de los cosmonautas y el espacio. Hoy en día estamos de acuerdo con los griegos de la antigüedad, quienes afirmaban que las matemáticas eran útiles en arquitectura, astronomía, navegación y muchas otras materias. Las matemáticas no solamente son vitales en los problemas de este mundo moderno, tanto en el intelectual como en el científico, sino que también ayudan a resolver problemas de carácter social. Estos nuevos métodos de enseñanza, explicados razonadamente, servirán de mucha ayuda a los estudiantes capacitados y aun a aquellos que todavía sientan aversión a los números. En la vida diaria es frecuente el uso de símbolos para simplificar anotaciones y facilitar las operaciones, como el signo $ que significa pesos, el símbolo  que significa que nos aproximamos a una curva , el símbolo  que significa grados, y otros que vemos en cada momento; pero los mas usados son simples abreviaturas en las que la primera letra de una palabra reemplaza a toda la palabra, por ejemplo: m (metro), l (litros), r (radio), c.p. (código postal), ha. (Hectárea), p.m. (pasado meridiano) y varios más que son de uso común. De la misma manera que para poder pensar y decir cada vez más cosas, tuvimos que ir ampliando nuestros sistemas de números desde los enteros positivos, los naturales, hasta todos los números reales, ahora, para seguir progresando necesitamos poder hablar en forma todavía más general. Necesitamos referirnos, por ejemplo, a propiedades que tienen todos los números, sin necesidad de hablar de ninguno en particular, y necesitamos hacer esto con mucha concisión y brevedad. Decir, por ejemplo: si a y b representan a cualquier número real, a*b = b*a. Es una forma concisa y general de establecer que la multiplicación es conmutativa (el orden de los factores no altera el producto). Más aún, a veces necesitamos hablar de cosas que desconocemos, o que cambian. Para eso necesitamos también símbolos que representen esas cosas, a las que por el momento no podemos o no queremos darles un valor numérico concreto. Las letras pueden representar un número cualquiera, ya sea entero o fraccionario. Las matemáticas emplean numerosas reglas que se simplifican usando letras iniciales, las más usuales son las fórmulas, las cuales sirven para resolver problemas al ser sustituidas las letras por los números adecuados. Convencionalmente las primeras letras del alfabeto indican valores conocidos y se les denominan literales, mientras que las últimas, sobre todo x, y, z; los desconocidos también llamados incógnitas. El uso de las fórmulas de gran generalidad a los problemas, y de esto se ocupa una rama de las matemáticas llamada ALGEBRA, cuya definición es “parte de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos para la resolución de problemas y el cálculo numérico (Baldor, A., Álgebra).
Aunque tú ya sabes de álgebra, puesto que lo estudiaste en la secundaria, algunas cosas tal vez las has olvidado o las has dejado de practicar, y algunas otras las vas a ver de nuevo, pues no sólo se pretende repasar tus conocimientos, sino aumentarlos. Por ello te ayudará empezar éste estudio teniendo en cuenta que existen cosas que quedan más concisas y claras si usamos el lenguaje del álgebra. Iremos mezclando aritmética y álgebra, hasta que te sientas habituado a este nuevo lenguaje. Si usar letras es utilizar el álgebra entonces también podemos traducir de nuestro lenguaje común al lenguaje algebraico, es decir, representar mediante símbolos algún texto, o alguna situación problemática; o haciendo lo contrario, es decir, traducir del lenguaje algebraico a nuestro lenguaje común.
Por ejemplo:
Expresa algebraicamente los siguientes textos:
a) El doble de un número más uno.
El número lo podemos representar con cualquier letra, en este caso utilizaremos x, entonces el doble del número es 2x y si le sumamos el uno, quedaría: 2x+1
b) El precio de una bicicleta, de dos bicicletas, de cinco bicicletas.
El precio de una bicicleta lo representamos con la letra: b
El de dos bicicletas: el precio de una por dos, es decir: 2b
El de cinco bicicletas: el precio de una por cinco, es decir: 5b
c) El área de un cuadrado.
Se obtiene multiplicando lado por lado: A=l x l = l2
Si nos piden calcular el área de un cuadrado. Halla el área de una hectárea. Sabemos que una Ha. Tiene 100M. Por lado, usamos las fórmulas A=l2 .. . A=100MX 100M=10,000M2
d) El peso de 8 sacos de maíz
Si un saco de maíz pesa x kilos, 8 sacos, serán 8 veces x que es igual a: 8x
e) Un gavilán vio a un grupo de palomas volando y les dijo “adiós cien palomas” a lo que una de ellas le contestó, no somos cien, pero, nosotras más nosotras más la mitad de nosotras juntas y usted sumaremos cien.
Si representamos con la x al grupo de palomas volando. Entonces:
f) El producto de tres números cualesquiera.
Si a es un número, b es otro número, y c es el tercer número. Entonces el producto (resultado de una multiplicación) queda: (a) (b) (c)
Cabe aclarar que los paréntesis son símbolos de multiplicación.
g) En la granja “La Paloma” tienen un total de 3200 aves de las cuales hay 750 gallinas más que de gallos. Por otra parte, el número de pollos es cinco veces el de gallos. ¿Cuántos pollos, gallos, y gallinas tienen en una granja?
Si tomamos como referencia al número de gallos y lo representamos con x; entonces:
Gallos = x
Gallinas = x + 750
Pollos = 5x
Si sumamos todas las aves, tendríamos el total de 3200. Por lo tanto el texto quedaría representado algebraicamente:
h) Traduce las siguientes expresiones algebraicas al lenguaje común:
 : “la mitad de la suma de dos cantidades”
 m2 – n2 : “la diferencia de dos cuadrados”
 (m – n) 2: “la diferencia de dos cantidades elevada al cuadrado”

EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es la representación de cantidades por medio de números y letras relacionadas por una o más operaciones. Las expresiones algebraicas pueden estar formadas por uno o varios términos.
Por ejemplo:
5ª
3a2 - 2c
6x + 8y + 3z
De acuerdo al número de términos que tiene una expresión algebraica, se pueden clasificar de la siguiente manera:
o La expresión algebraica que tiene un solo término se le llama monomio. Por ejemplo: x, 3a2b5, – 4a, etc.
o La expresión algebraica que tiene dos o más términos es polinomio. Por ejemplo: ; 3bx + b2x + bx2; 40v + 3t + 60b + 250g; etc.
 Si el polinomio tiene dos términos es binomio: ; 3m – 5t; etc.
 Si el polinomio tiene tres términos es trinomio: 3bx + b2x + bx2; 40v + 3t + 60b + 250g; etc.
Nota: cuando el polinomio tiene cuatro o más términos es cuando generalmente se usa el concepto de polinomio.

El término algebraico es cada una de las partes separadas por un signo de suma o de resta en una expresión algebraica y tiene cuatro elementos: Signo, Coeficiente, Literal y exponente.
El signo puede ser positivo o negativo.; cuando el signo es positivo y se encuentra al principio suele omitirse.
El coeficiente es el número o letra que indica el número de veces en que se toma como sumando la parte literal. Por ejemplo:
 En el término 5a el 5 indica que se han tomado 5 veces la a como sumandos.
5a = a + a + a + a + a 5 es el coeficiente
 En el término 3a2b el 3 indica que se han tomado 3 veces a2b como sumando.
3a2 b = a2b + a2b + a 2b 3 es el coeficiente
 En el término nb el coeficiente n indica que se tomaron n veces la b como sumando.
nb = + b + b + b + b +... hasta n sumandos iguales a b
La parte literal son las letras que contiene el término.
El exponente o grado es el número o letra que se coloca en la parte superior derecha de una cantidad para indicar el número de veces que dicha cantidad se ha tomado como factor. Puede ser de dos tipos: absoluto o relativo; el primero es la suma de los exponentes de sus literales, mientras que el segundo es con relación a una letra. Por ejemplo:
El área del cuadrado de lado l es: A = l x l. Se escribe A= l2
El volumen del cubo de arista a es V = a x a x a. Se escribe V = a3
En las expresiones anteriores el 2 y el 3 son exponentes
El exponente 4 en a4 indica que se han tomado cuatro factores iguales a: a
a4 = a x a x a x a
El exponente n en an indica que se han tomado n factores iguales a a
an =a x a x a x a x a x... (n factores iguales a a)
Por otro lado;
3a2b5 grado absoluto es 7° grado relativo: a es 2°, y b es 5°
CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICOS DE ACUERDO AL NÚMERO DE TÉRMINOS
Monomio (1 término) Binomio (2 términos) Trinomio (3 términos)
Según el número de términos que posee una expresión algebraica se denomina MONOMIO, BINOMIO, TRINOMIO Y MULTINOMIO. 5x
xyz3


2x + 3y
a2 – 2b2
+ 5
8 + y 3x + 5y – 7
a + b – c
+ 2x – 5
27 + x – y
IMPORTANTE: Los términos se separan por los signos + y/o –

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 1
Realiza lo que se te indica.
a) Explica de una manera breve lo que es el Álgebra.
b) Explica la importancia del Álgebra.
c) Explica que es una expresión algebraica.
d) Escribe cinco expresiones algebraicas.
e) Define que es un término algebraico.
f) Explica cuáles son los elementos de un término algebraico.
g) Define qué es un monomio.
h) Escribe tres monomios.
i) Define lo que es un polinomio.
j) Escribe tres polinomios
k) Define lo que es un binomio.
l) Escribe tres binomios.
m) Define lo que es un trinomio
n) Escribe tres trinomios.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 2
La capacidad de simbolización del sujeto le sirve para representar expresiones del lenguaje cotidiano por medio de signos convencionales. Esta capacidad implica la facultad para traducir dichas expresiones al lenguaje simbólico y viceversa. Resulta de importancia capital cuando se trata de resolver problemas, pues permite al estudiante plantear modelos simbólicos de situaciones reales. El planteo de ecuaciones para resolver problemas, es un ejemplo muy significativo.
Para desarrollar tu capacidad de simbolización efectúa lo que se te indica:
a) Descifra el mensaje: Actuando como detectives, te pedimos descifrar el siguiente mensaje en clave:




Pista:
Se sabe que en el mensaje las letras que se repiten con más frecuencia son A, E, y D, en ese orden; aparece la P; le siguen también en ese orden de frecuencia C e I. Cabe señalar que la palabra MATEMÁTICA, debe aparecer al final del mensaje.

b) Continúa como detective en este otro mensaje.





Pista: la quinta palabra es ciencia y la novena es mundo.

c) Sumas piramidales
Procedimiento: En cada uno de los juegos, las letras A, B, C, D, E, F, G y H tienen valores de 0 a 4 y las figuras de 5 a 9. En cada diagrama, cada número es igual a la suma de dos números de la línea superior. Las decenas han sido ignoradas de modo que, por ejemplo, 6 + 7 = 13 aparecerá como 3 es por eso que ninguno de los resultados es mayor que 9. Descubra a que número corresponde cada letra y cada figura teniendo en cuenta que cada juego tiene su propia clave. Para anotar lo que vayas descubriendo, utilice el cuadro de equivalencias de cada juego