lunes, 5 de julio de 2010

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

Las características son las siguientes:
 Son dos términos, separados por el signo ( + ) cuando sea suma, y por el signo ( - ) cuando sea una diferencia.
 Los coeficientes deberán tener raíz cúbica exacta.
 Los exponentes deberán ser divisibles entre 3.
El procedimiento que se sigue para su factorización es:
“Se abren dos paréntesis, el primero es para un binomio formado por las raíces cúbicas de los términos dados, separados por el mismo signo; el segundo paréntesis es para un trinomio que se forma con el cuadrado del primer término del binomio, menos ó más el primero por el segundo términos del binomio (dependiendo si es suma o resta), y por último, más el cuadrado del segundo término”.
EJEMPLOS: A) factoriza: 27x3 + 1
Solución:

Con las raíces cúbicas se forma un binomio: ( 3x, + 1)
De acuerdo al binomio, se forma el trinomio: Cuadrado del primero: 9x2
Menos el primero por el segundo: – 3x
Más el cuadrado del segundo: 1
La factorización es: 27x3 + 1 = ( 3x + 1 ) ( 9x2 - 3x + 1 )

B) factoriza: 8a3b6 – m3
Solución:

Con las raíces cúbicas se forma un binomio: ( 2ab2 – m)
De acuerdo al binomio, se forma el trinomio: Cuadrado del primero: 4a2b4
Más el primero por el segundo: + 2ab2m
Más el cuadrado del segundo: m2
La factorización es: 8a3b6 – m3 = ( 2ab2 - m ) ( 4a2b4 + 2ab2m + m2 )
NOTA: Se puede observar que cuando es suma de cubos, el segundo término del trinomio es negativo; mientras que, cuando es una diferencia de cubos, todos los términos del trinomio son positivos.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 35
Realiza lo que se te indica:
a) Escribe las características de una suma de cubos y de una diferencia de cubos.
b) Escribe la manera en que se factoriza una suma de cubos.
c) Escribe la manera en que se factoriza una diferencia de cubos.
d) Factoriza las siguientes sumas o diferencias de cubos.
A) x6 + a6
B) a3 + 8
C) 27 + y3
D) x3 + 1/64
E) x3 - 1/8
F) x3 + 27
G) a10 - x15
H) x6 - y6
I) x6 + y12
J) a6 - 64.x6

D) TRINOMIOS
1) Trinomio cuadrado perfecto.
Este es un trinomio que se obtiene al elevar al cuadrado un binomio, por lo que sus características son:
 Deben ser tres términos.
 Los extremos deben tener raíz cuadrada exacta (después de ordenarlo).
 El término medio es el doble producto de las raíces de los extremos.
El procedimiento que se sigue para su factorización es:
“Se abre un paréntesis al cuadrado, donde se ponen las dos raíces de los extremos separados por el signo del término medio del trinomio”
EJEMPLOS:
A) factoriza: 4x2 + 4x + 1
Solución: ¿Será trinomio cuadrado perfecto?
4x2, su raíz cuadrada es 2x
1, su raiz cuadrada es 1
4x, es el doble producto de las dos raíces: 2 ( 2x ) ( 1), por lo tanto:
Sí es un trinomio cuadrado perfecto, por lo tanto, su factorización es:
4x2 + 4x + 1 = ( 2x + 1 )2

B) factoriza: 4x2 - 12xy + 9y2
Solución: ¿Será trinomio cuadrado perfecto?
4x2, su raíz cuadrada es 2x
9y2, su raiz cuadrada es 3y
12xy, es el doble producto de las dos raíces: 2 ( 2x ) ( 3y ), por lo tanto:
Sí es un trinomio cuadrado perfecto, y su factorización es:
4x2 - 12xy + 9y2 = ( 2x + 3y )2

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 36
Realiza lo que se te indica:
a) Escribe las características de un trinomio cuadrado perfecto
b) Escribe la manera en que se factoriza un trinomio cuadrado perfecto
c) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando el método de trinomio cuadrado perfecto
A) 4y2 - 4y + 1 =
B) 16u2 + 16u + 4 =
C) 9v2 - 18v + 9 =
D) U2 + 16U4 + 64U6 =
E) 16a2b2 - 8ab2c2 + b2c4 =
F) 36U4 + 108U2V2 + 81V4 =
G) 16S2 – 40ST + 25T2 =
H) 49R2 - 112R + 64 =
I) =


2) Trinomio No Cuadrado Perfecto ó del forma: x2 + bx + c
Este trinomio por lo general es el resultado de multiplicar dos binomios que tienen un término común. Por lo que sus características son:
 Deben ser tres términos
 Un extremo debe tener raíz cuadrada exacta, el otro no.
 El término medio debe ser la suma algebraica de los factores del extremo que no es cuadrado.
El procedimiento que se sigue para su factorización es:
“Se escriben dos paréntesis, el primer término de cada paréntesis es el común ( la raíz cuadrada) y como segundo término dos factores del extremo no cuadrado que sumados den el término medio”.
EJEMPLOS:
A) factoriza: a2 + 5a + 6
Solución: 1º verificamos que se trata de un trinomio de este tipo.
2º factorizamos los extremos:
a2 + 5a + 6 =
a + 2
a + 3
3º los multiplicamos en forma cruzada y se suman los resultados obtenidos en las multiplicaciones:
a2 + 5a + 6 =
a + 2 = 2a
a + 3 = 3a
5a
Los factores estarán correctos cuando la suma sea igual al término medio del trinomio.
Para escribir los factores se toman en forma horizontal en dos paréntesis. Por lo tanto:
a2 + 5x + 6 = ( a + 2 ) ( a + 3 )

B) factoriza: a2 - a - 6
Solución: a2 - a - 6
a +2 = 2a
a -3 = -3a
– a
Por lo tanto: la factorización es: a2 - a - 6 = ( a + 2 ) ( a - 3 )

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 37
Realiza lo que se te indica:
a) Escribe las características de un trinomio no cuadrado perfecto, de la forma x2 + bx +c
b) Escribe la manera en que se factoriza un trinomio no cuadrado perfecto, de la forma x2+bx+c
c) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando el método de trinomio no cuadrado perfecto, de la forma x2 + bx +c
A)
B) a2 –7a + 12 =
C) x2 –11x + 30 =
D) a2 – 4a – 21 =
E) x2 – x – 2 =



3) Trinomio Caso Especial, ó de la forma: ax2 + bx + c
A este trinomio le llamamos de esta forma para diferenciarlo de los dos anteriores, por el coeficiente del término cuadrático que debe ser diferente de uno. En esta forma: a, b y c representan números reales.
El procedimiento que se sigue para su factorización es el método anterior:
EJEMPLO: factoriza: 3x2 + 5x + 2
Solución.
Se verifica que se trata de un trinomio de este tipo.
Factorizamos los extremos:
3x2 + 5x + 2 =
3x + 2
x + 1
Los multiplicamos en forma cruzada y se suman los resultados obtenidos en las multiplicaciones:
3x2 + 5x + 2 =
3x + 2 = + 2x
x + 1 = + 3x
+ 5x
Los factores estarán correctos cuando la suma sea igual al término medio del trinomio.
Para escribir los factores se toman en forma horizontal en dos paréntesis. Por lo tanto:
a2 + 5x + 6 = ( 3x + 2 ) ( x + 1 )
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 38
Realiza lo que se te indica:
a) Escribe las características de un trinomio cuadrado caso especial, de la forma
ax2 + bx +c
b) Escribe la manera en que se factoriza un trinomio cuadrado caso especial, de la forma ax2+bx+c
c) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando el método de trinomio cuadrado caso especial, de la forma ax2 + bx +c
A) 2x2 + 11x + 12 =
B) 2x2 + 6x – 20 =
C) 2x2 - 7x – 30 =
D) 6x2 - 16x – 6 =
E) 6x2 + 17x + 10 =
F) 20x2 + 41x + 20 =
G) 12x2 - x – 20 =
H) 15x2 + 34xy - 77y2 =
I) 45x2 - 78xy - 63y2 =
J) 10x2 + 23x + 12
K) 14x2 + 29x – 15

E) POLINOMIO CUBO PERFECTO.
Este polinomio es el resultado de elevar al cubo un binomio, por lo que sus características son:
 Tiene cuatro términos
 Dos términos son cubos perfectos ( por lo general los extremos)
 Dos términos deben ser los triples productos de una raíz cúbica por el cuadrado de la otra raíz.
Una vez ordenado el polinomio, poniendo en los extremos los términos que son cubos perfectos.
El procedimiento que se sigue para su factorización es:
“Se escribe un paréntesis elevado al cubo, cuyos términos son la raíces cúbicas de los extremos, separados por el signo del cuarto término del polinomio”.
EJEMPLOS:
A) factoriza: a3 + 3a2 + 3a + 1
Solución: ¿Será polinomio cubo perfecto?
a3, su raíz cúbica es: a
1, su raíz cúbica es: 1
3a2, es el triple producto del cuadrado del primero por el segundo: 3(a)2 ( 1)
3a, es el triple producto del primero por el cuadrado del segundo: 3(a) ( 1)2
Sí es un polinomio cubo perfecto, por lo tanto, su factorización es:
a3 + 3a2 + 3a + 1 = ( a + 1 ) 3

B) factoriza: 8a3 + 36a2 b + 54ab2 + 27
Solución: ¿Será polinomio cubo perfecto?
8a3, su raíz cúbica es: 2a
27, su raíz cúbica es: 3
36a2 b , es el triple producto del cuadrado del primero por el segundo: 3(2a)2 ( 3) = 3(4a2) (3)
54ab2, es el triple producto del primero por el cuadrado del segundo: 3(2a) (3)2 = 3(2a) (9)
Sí es un polinomio cubo perfecto, por lo tanto, su factorización es:
8a3 + 36a2 b + 54ab2 + 27 = ( 2a + 3b )3

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 39
Realiza lo que se te indica:
a) Escribe las características de un polinomio cubo perfecto.
b) Escribe la manera en que se factoriza un polinomio cubo perfecto.
c) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando el método de polinomio cubo perfecto.

A) a3 + 6a2 + 12a + 8 =
B) 64m6 + 96m2n + 48m2n2 + 8n3 =
C) 8a3 - 12a2 +6a – 1 =
D) m6 -6m4 +12m2 -8 =
E) 8b9 + 12b6c + 6b3c2 + c3 =

Observaciones:
Cuando se quiere factorizar una expresión se observa las características que tiene, y se procede a escribir los factores de acuerdo con el caso que sea.
Si en algún problema se encuentran varias factorizaciones, si es posible, el factor común deberá hacerse como primer paso.
También, cuando se factoriza una expresión se debe llegar a todos los factores posibles, así, si ya se aplicó un caso y los factores resultantes todavía tienen factores, nuevamente deberán hallarse éstos.

EJEMPLOS DE FACTORIZACIÓN MÚLTIPLE:
A) Factoriza: 4a2 - 4b2
Esta expresión tiene factor común y es diferencia de cuadrados.
Solución: 1º Se halla el factor común:
4a2 - 4b2 = 4 (a2 - b2 )
2º Se factoriza la diferencia de cuadrados:
4a2 - 4b2 = 4 (a2 - b2 ) = 4 ( a + b ) ( a - b )
B) Factoriza: a6 - 1
Esta expresión es diferencia de cuadrados y diferencia de cubos.
Solución: 1º Se factoriza la diferencia de cuadrados:
a6 - 1 = ( a3 - 1 ) ( a3 + 1 )
2º Se factorizan la suma y la diferencia de cubos:
a6 - 1 = ( a+ 1 ) (a2 – a + 1) ( a –1 ) ( a2 + a + 1 )
C) Factoriza: x5 – x
Esta expresión tiene factor común monomio y luego dos diferencias de cuadrados.
Solución: 1º factor común:
x5 - x = x (x4 - 1 )
2º diferencia de cuadrados:
x5 - x = x (x4 - 1 ) = x (x2 - 1) (x2 + 1 )
3º diferencia de cuadrados:
x5 - x = x (x4 - 1 ) = x (x2 - 1) (x2 + 1 )
x5 – x = x (x2 + 1) (x + 1 ) ( x - 1 )

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