PRODUCTOS NOTABLES

Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado se puede escribir por simple inspección, es decir con solamente aplicar la regla, sin efectuar el proceso de multiplicación.
Los productos notables mas conocidos, son:
Binomios al cuadrado: ( a  b)2 = a2  ab + b2
Binomios conjugados: (a + b) (a – b)= a2 – b2
Binomios con un término común: (a + b) (a + x) = a2 + ( b + x)a + bx
Binomio al cubo: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Binomio por trinomio: (a  b) (a2  ab + b2) = a3  b3


ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 24
Contesta las siguientes preguntas:
a) ¿A qué se le llaman productos notables?
b) ¿Cuál es el método para resolver los productos notables?
c) Menciona los casos más comunes de productos notables.
d) En una hoja tamaño carta escribir las reglas de los productos notables con un ejemplo de cada uno.
e) Completa la siguiente tabla, escribiendo el nombre o un ejemplo del producto notable.

NOMBRE DEL PRODUCTO NOTABLE EJEMPLO
Binomio al cuadrado



Binomio al cubo





1. BINOMIO AL CUADRADO (a  b)2 = a2  ab + b2
El binomio al cuadrado, es igual al cuadrado del primer término más o menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
Instrucciones: Por simple inspección determina el resultado de los binomios al cuadrado:
Ejemplo 1
(2a2 - b2)2 = (2a2)2 - 2(2a2) (b) + (b)2= 4a4-4a2b + b2
Ejemplo 2:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 25
Efectúa lo que se te indica:
a) Escribe la regla para elevar al cuadrado la suma de dos cantidades.
b) Escribe la regla para elevar al cuadrado la diferencia de dos cantidades.
c) Escribe el nombre del resultado de elevar al cuadrado la suma o la diferencia de dos cantidades.
d) Desarrolla los siguientes binomios al cuadrado sin efectuar las multiplicaciones. Es decir, por simple inspección.
A) (x + 6)2 =
B) (2x - 6)2 =
C) (2x + 6y)2 =
D) (2x - 6y)2 =
E) (A2 - 2)2 =
F) (2b2 + 1t)2 =
G) (4 - 5w2)2 =
H) (2u2 - av)2 =
I) (2ax - 3by)2 =
J) (2x2 + 3xy2)2 =
K) (m + 3)2 =
L) ( am + an )2 =
M) (a2x +by2)2 =
N) (ax-2- yn)2 =
O) (5a3b2 - 6ab3)2 =
2. BINOMIOS CONJUGADOS (a + b) (a – b)= a2 – b2
Se llaman binomios conjugados aquellos que solo difieren en un signo. El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Nota: Se considera primer término al que tiene signos iguales.
Instrucciones: Por simple inspección determina el resultado de los binomios conjugados:
Ejemplo 1:
(ab +1) (ab –1) = (ab)2 – (1)2 = a2b2 – 1
Ejemplo 2:
(-x2 + y2) (x2 + y2) = (y2)2 – (x2)2 = y4 – x4

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 26
Efectúa lo que se te indica:
a) Explica qué son los binomios conjugados
b) Escribe la regla para elevar para hallar el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, o binomios conjugados.
c) Escribe el nombre del resultado de los binomios conjugados.
d) Desarrolla los siguientes binomios conjugados sin efectuar las multiplicaciones. Es decir, por simple inspección.
A) (x + 5)(x - 5) =
B) (2x + 5)(2x – 5) =
C) (5xy – 6)(5xy + 6) =
D) (12 + 9RS)(12 – 9RS) =
E) (3xyv – 4ab)(3xyv + 4ab) =
F) (3ab2c – 4ad2)(3ab2c + 4ad2) =
G) (11axt2v2 + w4)(11axt2v2 – w4) =
H) [(a + 4) – b] [(a + 4) + b] =
I) (y2 – 3y) (y2 + 3y) =
J) (n –1)(n +1) =
K) (1– 8xy)(8xy+1) =
L) (am + bn )(am – bn) =

3. BINOMIO AL CUBO: (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más ó menos el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo mas el triple producto del cuadrado del segundo término por el primero, más o menos el cubo del segundo término.
Instrucciones: Por simple inspección determina el resultado de los binomios al cubo:
Ejemplo 1:
(a2 - 3b)3 = (a2)3 +3(a2)2(-3b)+3(a2)(-3b)2+(-3b)3 = a6 – 9a4b + 27a2b2 – 27b3
Ejemplo 2:
(-x5 - 4)3 = (-x5)3 + 3(-x5)2(-4) + 3(-x5)(-4)2 + (-4)3 = –x15 –12x0 – 48x5 – 64
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 27
Efectúa lo que se te indica:
a) Escribe la regla para elevar al cubo la suma de dos cantidades.
b) Escribe la regla para elevar al cubo la diferencia de dos cantidades.
c) Escribe el nombre del resultado de elevar al cubo la suma o la diferencia de dos cantidades.
d) Desarrolla los siguientes binomios al cubo sin efectuar las multiplicaciones. Es decir, por simple inspección.
A) (a + 2)3 =
B) (x – 1)3 =
C) (4m + 3)3 =
D) (-a3 + b)3 =
E) (2a3+ 5a)3 =
F) (m3 – 5m2)3 =
G) (4m2 + 2n)3 =
H) =
I) (0.5 – a )3 =
J) ( 3x3 + 4xy2)3 =

4. BINOMIOS CON UN TERMINO COMUN: (a + b)( a + x) = a2 + ( b + x )a + bx
Este producto es igual a: el cuadrado del término común, más la suma algebraica de los no comunes por el común más el producto de los no comunes.
Por simple inspección determina el resultado:
Ejemplo 1:
(a + 1)(a + 2) = (a)2+(1+2)a + (1) (2) = a2 + 3a + 2
Ejemplo 2:
(2a+5)(2a-6) = (2a)2+(5-6)(2a)+(5)(-6) = 4a2 – 2a – 30
Ejemplo 3:
(x + a)(x + 2) = x2 + ax + 2x + 2a


ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 28
Efectúa lo que se te indica:
a) Explica a qué se le llaman binomios con un término común.
b) Escribe la regla para multiplicar dos binomios con un término común.
c) Desarrolla los siguientes binomios al cuadrado sin efectuar las multiplicaciones. Es decir, por simple inspección.
A) (x – 3)(x + 6) =
B) (a6+ 7) (a6 – 10) =
C) (ab + 5)(ab – 6) =
D) (a + 2b)(a + 3b) =
E) (x2 – 7m)(x2 –m) =
F) (m2 –15x)(m2 –2x) =
G) (0.5 ab3 – 3x) (0.5 ab3 – 4x) =
H) =
I) (m2 + 4m) (m2 – 2) =
J) (xy + 2a ) ( 2a – 3xy) =

5.- PRODUCTOS DE LA FORMA: (a  b) (a2  ab + b2) = a3  b3
En estos productos tenemos un binomio por un trinomio y éste siempre es igual al cuadrado del primer término del binomio más o menos el producto de ambos más el cuadrado del segundo. El resultado será el cubo del primer término del binomio más o menos el cubo del segundo término.
Ejemplo 1:
(2x – 3y)(4x2 + 6xy + 9y) = 8x3 – 27y3
Ejemplo 2:
(x + 2y)(x2 –2xy + 4y2) = x3 + 8y3

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 29
Efectúa lo que se te indica:
a) Escribe la regla para hallar el producto de la forma: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
b) Escribe la regla para hallar el producto de la forma: (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
c) Escribe el nombre del resultado de los productos de las formas: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 ; y, (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
d) Desarrolla los siguientes productos sin efectuar las multiplicaciones. Es decir, por simple inspección.
A) (x –1)(x2 + x +1) =
B) (5x+2) (25x2 –10x+4) =
C) (2a + b)(4a2 – 2ab + b2) =
D) (a2 –1)(a4 + a2 +1)2 =
E) (x4+ x2y2 + y4)(x2 – y2) =
F) ( a + 2) (a2 – 2a +4) =
G) ( 3 + y ) (9 – 3y + y2 ) =
H) (x2 – y) (x4 + x2y + y2 ) =

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 30
Miscelánea de productos notables. Escribe el nombre del producto notable a que corresponde en el lado izquierdo. En el lado derecho escribe el resultado obtenido por la aplicación de la regla adecuada.
A) (a2 – ab)2 =
B) (a2 + 3)(a2 – 3) =
C) (ax + xy)(ax – xy) =
D) (x2+ x +1)(x2+ x –1)
E) (a – b + c)(a + b – c )
F) (2c2+ d2)3 =
G) (4x – 2)(3x – 2) =
H) (am – 2n2)3 =
I) (x4 + 1)(x2 + 1)(x2 –1) =
J) (A2+ 8)(a2 – 7) =
K) (2a3 – 5b4)2 =
L) (x2y3 – 8)(x2y3 + 5) =
M) (a + b)(a – b)(a2 – b2) =
N) (x2 – 25)(x2 –1) =
O) (a2 –1)(a 2 – 4) =
P) (a2 – b2)(a2 + b2) =
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LOS PRODUCTOS NOTABLES
Ejemplo 1. Calcula el área de un terreno cuadrado cuyo lado mide 5x+3 metros
Área del cuadrado = l 2

(5x+3)(5x+3)= (5x+3)2 = 25x2+ 30x +9 (Binomio al cuadrado)

Ejemplo 2. ¿Cuánto es el área de un terreno rectangular de (3x + 2y) m de largo y (3x - 2y) de ancho?

Área del rectángulo = b h (3x + 2y)(3x - 2y) = (9x2 – 4 y2)m2 (Binomios conjugados)

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE No. 31
Resuelve los siguientes problemas aplicando las reglas de productos notables que le correspondan.
1. Calcular el área del rectángulo de (3x+5) cm de base y (3x-7) cm de altura.
2. Calcular el volumen de un cubo de (5x+3) m de arista.
3. Calcular el área de un triángulo de (3x+2) cm de base y (3x+8) cm de altura.
4. Calcular el volumen de un cubo de (2x+5) cm de arista.